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[Hard] 2014!を5^{503}で割った余りを求めよ。
[Easy] 2014!を5^{500}で割った余りを求めよ。
[Easy] 2014!を5^{500}で割った余りを求めよ。
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Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)
=Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)・k
を証明せよ
=Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)・k
を証明せよ
Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)
=Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)
なら自明
ちな
Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)・kの最後のkは(n-k)にはかかってないやつ
=Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)
なら自明
ちな
Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)・kの最後のkは(n-k)にはかかってないやつ
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[Hard] 四面体ABCDの頂点A,B,C,Dから、それぞれの対面を含む平面に下した
垂線が対面の内心を通るとき、四面体ABCDは正四面体であることを示せ。
[Intermediate] 四面体ABCDの頂点A,B,C,Dから、それぞれの対面を含む平面に下した
垂線が対面の重心を通るとき、四面体ABCDは正四面体であることを示せ。
[Easy] 四面体ABCDの頂点A,B,C,Dから、それぞれの対面を含む平面に下した
垂線が対面の外心を通るとき、四面体ABCDは正四面体であることを示せ。
垂線が対面の内心を通るとき、四面体ABCDは正四面体であることを示せ。
[Intermediate] 四面体ABCDの頂点A,B,C,Dから、それぞれの対面を含む平面に下した
垂線が対面の重心を通るとき、四面体ABCDは正四面体であることを示せ。
[Easy] 四面体ABCDの頂点A,B,C,Dから、それぞれの対面を含む平面に下した
垂線が対面の外心を通るとき、四面体ABCDは正四面体であることを示せ。
[Hard] cos(x)+sin(πx)は周期関数か？
[Easy] cos(x)+sin(x)は周期関数か？
[Easy] cos(x)+sin(x)は周期関数か？
[Hard] f(n) = \sum_{k=0}^{n} (nCk)^{-1}とする。n=1,2,...,2017のときf(n)の最大値を求めよ。
[Easy] f(n) = \sum_{k=0}^{n} (nCk)^{+1}とする。n=1,2,...,2017のときf(n)の最大値を求めよ。
[Easy] f(n) = \sum_{k=0}^{n} (nCk)^{+1}とする。n=1,2,...,2017のときf(n)の最大値を求めよ。
[Hard] 数列 { a_k }(k=1,2,…)を、a_1=1、a_{k+1}=a_k^2+1と定める。{a_k}の中にpの倍数が存在するような素数pが無数に存在することを示せ。
[Easy] 数列 { a_k }(k=1,2,…)を、a_1=1、a_{k+1}=a_k +1と定める。{a_k}の中にpの倍数が存在するような素数pが無数に存在することを示せ。
[Easy] 数列 { a_k }(k=1,2,…)を、a_1=1、a_{k+1}=a_k +1と定める。{a_k}の中にpの倍数が存在するような素数pが無数に存在することを示せ。
>>15-16
1/n = a、(n-1)/n = b とおく。
(左辺) = Σ[k=0〜n] Ｃ(n,k)・a^k・b^(n-k) = (a+b)^n,
また
Ｃ(n,k)･k = n･Ｃ(n-1,k-1) (k=1〜n)
だから
(右辺) = nΣ[k=1〜n] Ｃ(n-1,k-1)・a^k・b^(n-k)
= naΣ[k=0〜n-1] Ｃ(n-1,k)・a^k・b^(n-1-k)
= na(a+b)^(n-1),
1/n = a、(n-1)/n = b とおく。
(左辺) = Σ[k=0〜n] Ｃ(n,k)・a^k・b^(n-k) = (a+b)^n,
また
Ｃ(n,k)･k = n･Ｃ(n-1,k-1) (k=1〜n)
だから
(右辺) = nΣ[k=1〜n] Ｃ(n-1,k-1)・a^k・b^(n-k)
= naΣ[k=0〜n-1] Ｃ(n-1,k)・a^k・b^(n-1-k)
= na(a+b)^(n-1),
>>29
[Easy]
f(n) = (1+1)^n = 2^n,
最大値 2^2017,
[Hard]
f(1) = 2、f(2)= 2.5、f(3)=f(4)= 8/3、f(5)= 2.6
n≧6 のとき、
C(n,k) ≧ C(n,2) (2≦k≦n-2)
f(n) < 1 + 1/n + (n-3)/C(n,2) + 1/n + 1
= 2 + 4(n-2)/{n(n-1)}
< 2 + 4/(n+1),
≦ 2 + 4/7,
最大値 8/3
[Easy]
f(n) = (1+1)^n = 2^n,
最大値 2^2017,
[Hard]
f(1) = 2、f(2)= 2.5、f(3)=f(4)= 8/3、f(5)= 2.6
n≧6 のとき、
C(n,k) ≧ C(n,2) (2≦k≦n-2)
f(n) < 1 + 1/n + (n-3)/C(n,2) + 1/n + 1
= 2 + 4(n-2)/{n(n-1)}
< 2 + 4/(n+1),
≦ 2 + 4/7,
最大値 8/3
>>28
[Easy]
周期2πをもつ。
[Hard]
f(R) = Max{cos(x)+sin(πx)；|x|≦R}
とおき
(1) f(R) < 2,
(2) lim[R→∞] f(R) = 2,
を示せばよい。
[Easy]
周期2πをもつ。
[Hard]
f(R) = Max{cos(x)+sin(πx)；|x|≦R}
とおき
(1) f(R) < 2,
(2) lim[R→∞] f(R) = 2,
を示せばよい。
>>33
[Hard] f(x)が周期関数だと仮定すると、f(x)=f(T+x)を常に(どんなxでも)満たす
正の定数Tが存在するはず。
f(0)=1、f(±T)=cosT±sin(πT)=1より、cosT=1、sinπT=0。
T=2mπ=2n(m,nは0でない整数)より、π=m/nが有理数になってしまい矛盾。
[Hard] f(x)が周期関数だと仮定すると、f(x)=f(T+x)を常に(どんなxでも)満たす
正の定数Tが存在するはず。
f(0)=1、f(±T)=cosT±sin(πT)=1より、cosT=1、sinπT=0。
T=2mπ=2n(m,nは0でない整数)より、π=m/nが有理数になってしまい矛盾。
>>33 (1)
sin(πx)=1 のとき x = 2m + (1/2) ≠ 2Lπ, cos(x)<1,
∴ cos(x)<1 または sin(πx)<1,
∴ cos(x) + sin(πx) < 2,
∴ f(R) < 2.
>>33 (2)
任意のε>0 に対して、n ≧ π/√(2ε) なる自然数nをとる。
｜x｜≦ π/n ⇒ cos(x) > 1 - ππ/2nn > 1-ε,
区間[0,1) を幅 1/n の小区間にn等分する。
鳩ノ巣原理（ディリクレの引き出し論法）により
0,｛1/π},｛2/π},｛3/π}, ････,｛n/π｝のn+1個のうちの2つは同じ小区間に含まれる。
0 <｛(i-j)/π｝=｛i/π} - {j/π｝< 1/n,
0,｛(i-j)/π},｛2(i-j)/π},｛3(i-j)/π}, ････ は 1/n より狭い間隔で並ぶ。
｜{m/π} + 1/(4π)｜< 1/2n,
を満たす整数（i-jの倍数）mがある。
π/n >｜2π{m/π} + 1/2｜ =｜2m + 1/2 -2Lπ｜=｜x - 2Lπ｜,
∴｜x - 2Lπ｜< π/n < √(2ε),
∴ cos(x）= cos(x-2Lπ）> 1-ε,
∴lim[R→∞］f(R）= 2,
sin(πx)=1 のとき x = 2m + (1/2) ≠ 2Lπ, cos(x)<1,
∴ cos(x)<1 または sin(πx)<1,
∴ cos(x) + sin(πx) < 2,
∴ f(R) < 2.
>>33 (2)
任意のε>0 に対して、n ≧ π/√(2ε) なる自然数nをとる。
｜x｜≦ π/n ⇒ cos(x) > 1 - ππ/2nn > 1-ε,
区間[0,1) を幅 1/n の小区間にn等分する。
鳩ノ巣原理（ディリクレの引き出し論法）により
0,｛1/π},｛2/π},｛3/π}, ････,｛n/π｝のn+1個のうちの2つは同じ小区間に含まれる。
0 <｛(i-j)/π｝=｛i/π} - {j/π｝< 1/n,
0,｛(i-j)/π},｛2(i-j)/π},｛3(i-j)/π}, ････ は 1/n より狭い間隔で並ぶ。
｜{m/π} + 1/(4π)｜< 1/2n,
を満たす整数（i-jの倍数）mがある。
π/n >｜2π{m/π} + 1/2｜ =｜2m + 1/2 -2Lπ｜=｜x - 2Lπ｜,
∴｜x - 2Lπ｜< π/n < √(2ε),
∴ cos(x）= cos(x-2Lπ）> 1-ε,
∴lim[R→∞］f(R）= 2,
>>28
[Super hard / Ultra hard] cos(x)+sin(πx）は一様概周期函数か？
”uniformly almost-periodic function”はBohr(1925)、Bochnner(1927)が創始したらしい。
[Super hard / Ultra hard] cos(x)+sin(πx）は一様概周期函数か？
”uniformly almost-periodic function”はBohr(1925)、Bochnner(1927)が創始したらしい。
>>30
〔補題〕
a_{L*n} は a_L、a_n で割りきれる。（乗法的）
[Easy] では a_k=k なので明らか。[Hard］は別記。
(略証)
ユークリッド法（背理法）による。
題意の素数が｛p_k｜k=1,2,…,n｝のみだったと仮定する。
各p_k に対し、p_kの倍数である a_φ(k) がある。（[Easy] ではφ(k)=p_k）
ψ＝φ(1)φ(2)……φ(n)
とおくと、補題により
a_ψ≡ 0（mod p_k)
a_(ψ+1）≡ 1（mod p_k)
は上記のどのp_kでも割りきれないから、仮定に反する。（honda氏の解）
* [Hard] は ヨーロッパ女子数学オリンピック、日本代表選抜一次試験の問題
〔補題〕
a_{L*n} は a_L、a_n で割りきれる。（乗法的）
[Easy] では a_k=k なので明らか。[Hard］は別記。
(略証)
ユークリッド法（背理法）による。
題意の素数が｛p_k｜k=1,2,…,n｝のみだったと仮定する。
各p_k に対し、p_kの倍数である a_φ(k) がある。（[Easy] ではφ(k)=p_k）
ψ＝φ(1)φ(2)……φ(n)
とおくと、補題により
a_ψ≡ 0（mod p_k)
a_(ψ+1）≡ 1（mod p_k)
は上記のどのp_kでも割りきれないから、仮定に反する。（honda氏の解）
* [Hard] は ヨーロッパ女子数学オリンピック、日本代表選抜一次試験の問題
>>30
〔補題の補題〕
[Hard］のとき
a_{m+n｝- a_m は（a_n)^2 で割り切れる。（kisato氏)
(略証)
m についての帰納法で。
m=1 のとき、漸化式より
a_{n+1｝- a_1 =｛(a_n)^2 + 1｝- 1 =（a_n)^2,
また、
a_{m+n+1｝- a_{m+1} =（a_{m+n｝+ a_m)(a_{m+n｝- a_m)
ゆえ、あるmに対して成立なら、m+1に対しても成立。
〔補題〕
a_{L*n} は a_L、a_n で割り切れる。（乗法的）
これが分かると難易度に差はない、というのが出題の趣旨でしょうか。
http://suseum.jp/gq/question/2658
〔補題の補題〕
[Hard］のとき
a_{m+n｝- a_m は（a_n)^2 で割り切れる。（kisato氏)
(略証)
m についての帰納法で。
m=1 のとき、漸化式より
a_{n+1｝- a_1 =｛(a_n)^2 + 1｝- 1 =（a_n)^2,
また、
a_{m+n+1｝- a_{m+1} =（a_{m+n｝+ a_m)(a_{m+n｝- a_m)
ゆえ、あるmに対して成立なら、m+1に対しても成立。
〔補題〕
a_{L*n} は a_L、a_n で割り切れる。（乗法的）
これが分かると難易度に差はない、というのが出題の趣旨でしょうか。
http://suseum.jp/gq/question/2658
>>38
2項漸化式を少し一般化して、
a_{n+1} = P( a_n ), ただし P(x)は多項式で P(0) = a_1,
としても
a_{n+1} - a_1 = P(a_n) - a_1 = Q(a_n, 0)a_n ≡ 0（mod a_n),
a_{m+n+1} - a_{m+1} = P(a_{m+n}) - P(a_m)
= Q(a_{m+n}, a_m)(a_{m+n} - a_m),
なので、同様のことが成立つ（？）
2項漸化式を少し一般化して、
a_{n+1} = P( a_n ), ただし P(x)は多項式で P(0) = a_1,
としても
a_{n+1} - a_1 = P(a_n) - a_1 = Q(a_n, 0)a_n ≡ 0（mod a_n),
a_{m+n+1} - a_{m+1} = P(a_{m+n}) - P(a_m)
= Q(a_{m+n}, a_m)(a_{m+n} - a_m),
なので、同様のことが成立つ（？）
[Lunatic] n^m=4m^nを満たす自然数(m,n)の組を全て求めよ。
[Easy] n^m= m^nを満たす自然数(m,n)の組を全て求めよ。
[Easy] n^m= m^nを満たす自然数(m,n)の組を全て求めよ。
[Hard] 正の実数xに対して、整式f(x)が常にf(0)=1、f(x+1)=f(x)+2xを満たすとき、f(x)=x^2-x+1を示せ。
[Easy] 正の整数xに対して、整式f(x)が常にf(0)=1、f(x+1)=f(x)+2xを満たすとき、f(x)=x^2-x+1を示せ。
[Easy] 正の整数xに対して、整式f(x)が常にf(0)=1、f(x+1)=f(x)+2xを満たすとき、f(x)=x^2-x+1を示せ。
違いないぞ
整数と実数ね
数自体が詩の世界では幻。
[3,1,0]
[Hard] A=[0,0,1]のn乗(nは自然数)を求めよ。
[0,2,2]
[3,1,0]
[Easy] A=[0,0,0]のn乗(nは自然数)を求めよ。
[0,2,2]
[Hard] A=[0,0,1]のn乗(nは自然数)を求めよ。
[0,2,2]
[3,1,0]
[Easy] A=[0,0,0]のn乗(nは自然数)を求めよ。
[0,2,2]
[Hard] 点(k,-8)を通る、y=x^4-6x^2の接線は何本あるか？
[Easy] 点(k,-8)を通る、y=x -6x^2の接線は何本あるか？
[Easy] 点(k,-8)を通る、y=x -6x^2の接線は何本あるか？
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[Hard] nを自然数とする。0≦x<2^{+1}πの範囲で、方程式cos^n x = sin^n xを解け。
[Easy] nを自然数とする。0≦x<2^{-1}πの範囲で、方程式cos^n x = sin^n xを解け。
[Easy] nを自然数とする。0≦x<2^{-1}πの範囲で、方程式cos^n x = sin^n xを解け。
座標平面上にA(0,2)、B(1,-1)があり、動点Pがx軸上全体を動く。
[Hard] PA-PBの最小値があれば、その値を求めよ。
[Easy] PA+PBの最小値があれば、その値を求めよ。
[Hard] PA-PBの最小値があれば、その値を求めよ。
[Easy] PA+PBの最小値があれば、その値を求めよ。
[Hard]0=1
[Easy]0=0
[Easy]0=0
[Easy]の方はピタゴラスの定理が必要だが
[Hard]の方は不要
考え方によっては[Hard]の方が簡単
[Hard]の方は不要
考え方によっては[Hard]の方が簡単
あげ
>>40
[Lunatic］（m,n）=（1,4）（8,2） たぶん…
[Easy］ （m,n）=（m,m）（2,4）（4,2）
>>41
整式を差分すると次数が１つ下がるから、fは2次式。
>>45
[Easy］
［ 3^n，3^(n-1)，0 ］
A^n =［ 0，0，0 ］
［ 0，2^n，2^n ］
[Hard］
［ 3^n，3^n - f_{n+1}，3^n -（1/2)f_{n+2｝］
A^n =［ 0，2f_{n-1}，f_n ］
［ 0，2f_n，f_{n+1｝］
ここに f_n =｛(1+√3)^n -（1-√3)^n}/(2√3),
漸化式
f_{n+1｝= 2f_n + 2f_{n-1},
f_0 = 0，f_1 = 1，f_2 = 2，f_3 = 6，…
>>46
[Easy]
k <（1-√193)/12，k >（1+√193)/12 2本
k =（1±√193)/12 1本
（1-√193)/12 < k <（1+√193)/12 なし
[Hard］
（±2，-8）（±√2，-8）を通る。
（±1，-5）変曲点
|k｜< 11/8 2本
11/8 ≦｜k｜≦√2 3本
√2 <｜k｜<2 2本
|k｜= 2 3本
2 <｜k｜ 4本
>>57
[Easy］x=π/4,
[Hard] 増減表より
nが偶数のとき x=π/4 + nπ/2,
nが奇数のとき x=π/4 + nπ,
>>58
[Hard］最小値なし。下限 -1，P(-∞，0)
[Easy］△不等式より AB=√10，P(2/3，0)
[Lunatic］（m,n）=（1,4）（8,2） たぶん…
[Easy］ （m,n）=（m,m）（2,4）（4,2）
>>41
整式を差分すると次数が１つ下がるから、fは2次式。
>>45
[Easy］
［ 3^n，3^(n-1)，0 ］
A^n =［ 0，0，0 ］
［ 0，2^n，2^n ］
[Hard］
［ 3^n，3^n - f_{n+1}，3^n -（1/2)f_{n+2｝］
A^n =［ 0，2f_{n-1}，f_n ］
［ 0，2f_n，f_{n+1｝］
ここに f_n =｛(1+√3)^n -（1-√3)^n}/(2√3),
漸化式
f_{n+1｝= 2f_n + 2f_{n-1},
f_0 = 0，f_1 = 1，f_2 = 2，f_3 = 6，…
>>46
[Easy]
k <（1-√193)/12，k >（1+√193)/12 2本
k =（1±√193)/12 1本
（1-√193)/12 < k <（1+√193)/12 なし
[Hard］
（±2，-8）（±√2，-8）を通る。
（±1，-5）変曲点
|k｜< 11/8 2本
11/8 ≦｜k｜≦√2 3本
√2 <｜k｜<2 2本
|k｜= 2 3本
2 <｜k｜ 4本
>>57
[Easy］x=π/4,
[Hard] 増減表より
nが偶数のとき x=π/4 + nπ/2,
nが奇数のとき x=π/4 + nπ,
>>58
[Hard］最小値なし。下限 -1，P(-∞，0)
[Easy］△不等式より AB=√10，P(2/3，0)
>>4
［2014/5］+［2014/25］+［2014/125］+［2014/625］= 501,
2014! = 5^501 ×（2 + 15 + 25 + 250 + 0 + 12500 + …）
= 5^501 ×（2+15）+ 5^503・M
[Easy］ 0
[Hard］ 17×5^501
［2014/5］+［2014/25］+［2014/125］+［2014/625］= 501,
2014! = 5^501 ×（2 + 15 + 25 + 250 + 0 + 12500 + …）
= 5^501 ×（2+15）+ 5^503・M
[Easy］ 0
[Hard］ 17×5^501
結び目の完全分類法。ジョーンズ多項式までなら理解できたのだが。
Γとηとζとθの関数等式。どこかで見たけどどんなんだったかな。
Γとηとζとθの関数等式。どこかで見たけどどんなんだったかな。
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[easy]1^9999999999999999を求めよ
[hard]2^9999999999999999を求めよ
[hard]2^9999999999999999を求めよ
数字変えるのは反則だろとオモタが
縛りきつすぎるかな
縛りきつすぎるかな
[easy]2+9999999999999999を求めよ
[hard]2^9999999999999999を求めよ
[hard]2^9999999999999999を求めよ
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100の二乗を求めよ
100の階乗を求めよ
100の階乗を求めよ
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はい
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>>91
100^2 = 1.0000E+4
100! =
= 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864 * 10^24
= 9.3326215443944… E+157
スターリング近似では
√(2π）n^(n+1/2) e^(-n）= 9.3248… E+157 （誤差 -8.33E-4）
√(2π）n^(n+1/2）e^(-n +1/12n）= 9.332621570… E+157 （誤差 +2.78E-9）
√(2π）n^(n+1/2）e^(-n +1/12n -1/360n^3）= 9.3326215443936… E+157 （誤差 -7.93E-14）
100^2 = 1.0000E+4
100! =
= 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864 * 10^24
= 9.3326215443944… E+157
スターリング近似では
√(2π）n^(n+1/2) e^(-n）= 9.3248… E+157 （誤差 -8.33E-4）
√(2π）n^(n+1/2）e^(-n +1/12n）= 9.332621570… E+157 （誤差 +2.78E-9）
√(2π）n^(n+1/2）e^(-n +1/12n -1/360n^3）= 9.3326215443936… E+157 （誤差 -7.93E-14）
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>>103
リーマン予想
高度経済成長期に台頭したリーマン達にとっては
2008年の金融破綻はショックだったであろう。
リーマン予想
高度経済成長期に台頭したリーマン達にとっては
2008年の金融破綻はショックだったであろう。
[Hard] y=x^2 exp(-x)のグラフを、極値、変曲点を含めて描け。
[Easy] y=x exp(-x)のグラフを、極値、変曲点を含めて描け。
[Easy] y=x exp(-x)のグラフを、極値、変曲点を含めて描け。
>>130
[Easy］
極大 x=1, y=1/e,
変曲点 x=2, y=2/ee,
[Hard]
極小 x=0, y=0,
極大 x=2, y=4/ee,
変曲点 x=2±√2 （xx-4x+2=0の根）
[Easy］
極大 x=1, y=1/e,
変曲点 x=2, y=2/ee,
[Hard]
極小 x=0, y=0,
極大 x=2, y=4/ee,
変曲点 x=2±√2 （xx-4x+2=0の根）
>>131
Hardは、2つの変曲点のy座標がどちらが上かを考えたうえで
グラフを描くのが最大の難所ですね。2.71<e<2.72は証明なしに使ってもいいものとして。
Hardは、2つの変曲点のy座標がどちらが上かを考えたうえで
グラフを描くのが最大の難所ですね。2.71<e<2.72は証明なしに使ってもいいものとして。
>>130
y(2-√2)/y(2+√2）=｛(2-√2)e^(-2+√2)｝/｛(2+√2)e^(-2-√2)｝
=（3-2√2）e^(2√2)
>（3-2√2）（1+2√2+4） (*)
= 7 -4√2
> 1.343
y(2-√2）> y(2+√2)
*） a>0 ⇒ e^a > 1+a+aa/2
y(2-√2)/y(2+√2）=｛(2-√2)e^(-2+√2)｝/｛(2+√2)e^(-2-√2)｝
=（3-2√2）e^(2√2)
>（3-2√2）（1+2√2+4） (*)
= 7 -4√2
> 1.343
y(2-√2）> y(2+√2)
*） a>0 ⇒ e^a > 1+a+aa/2
[Hard] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} |1+i/n|^nを求めよ。
[Easy] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} |1+1/n|^nを求めよ。
[Easy] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} |1+1/n|^nを求めよ。
[Hard] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} Re((1+i/n)^n)を求めよ。
[Easy] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} Re((1+1/n)^n)を求めよ。
[Easy] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} Re((1+1/n)^n)を求めよ。
[Hard] 表裏が等確率1/2で出るコインをn回投げる(nは自然数)。z_0=1として、k回目(k=1,2,...,n)表が出ればz_k = (1+√3i) z_{k-1}/2、裏が出ればz_{k}={\bar z_{k-1}}=(z_{k-1}の共役複素数)とする。z_n=1となる確率を求めよ。
[Easy] 表裏が等確率1/2で出るコインをn回投げる(nは自然数)。z_0=1として、k回目(k=1,2,...,n)表が出ればz_k = (-1+√3i) z_{k-1}/2、裏が出ればz_{k}={\bar z_{k-1}}=(z_{k-1}の共役複素数)とする。z_n=1となる確率を求めよ。??
[Easy] 表裏が等確率1/2で出るコインをn回投げる(nは自然数)。z_0=1として、k回目(k=1,2,...,n)表が出ればz_k = (-1+√3i) z_{k-1}/2、裏が出ればz_{k}={\bar z_{k-1}}=(z_{k-1}の共役複素数)とする。z_n=1となる確率を求めよ。??
[POSSIBLE]Find a_n where a_1=0.25, a_(n+1)=-4((a_n)^2+(a_n))
[IMPOSSIBLE?]Find a_n where a_1=1.25, a_(n+1)=-4((a_n)^2+(a_n))
[IMPOSSIBLE?]Find a_n where a_1=0.25, a_(n+1)=-5((a_n)^2+(a_n))
[IMPOSSIBLE?]Find a_n where a_1=1.25, a_(n+1)=-4((a_n)^2+(a_n))
[IMPOSSIBLE?]Find a_n where a_1=0.25, a_(n+1)=-5((a_n)^2+(a_n))
[Lunatic] n^3+7n+9が素数となるような、整数nを全て求めよ。
[Easy] n^3-7n+9が素数となるような、整数nを全て求めよ。
[Easy] n^3-7n+9が素数となるような、整数nを全て求めよ。
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[Hard] 赤玉と白玉が6つある。これ等を円上に等間隔に並べる場合の数を求めよ。
[Easy] 赤玉と白玉が2つある。これ等を円上に等間隔に並べる場合の数を求めよ。
(いずれも回転して同じ並びになる場合は、同じ並べ方とする)
[Easy] 赤玉と白玉が2つある。これ等を円上に等間隔に並べる場合の数を求めよ。
(いずれも回転して同じ並びになる場合は、同じ並べ方とする)
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age
あげ
[Hard] 2019文字の置換から、無作為に置換を1つ選んだとき長さ200の巡回置換を含む確率を求めよ。
[Easy] 2019文字の置換から、無作為に置換を1つ選んだとき長さ2000の巡回置換を含む確率を求めよ。
https://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/19/n01.html
[Easy] 2019文字の置換から、無作為に置換を1つ選んだとき長さ2000の巡回置換を含む確率を求めよ。
https://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/19/n01.html
[Hard] 微分方程式 ((y'(x))^2)'+2y'(x)*exp(-2*y(x))=0 (初期条件y(0)=0, y'(0)=2)を解け。
[Easy] 微分方程式 ((y'(x))^2)'+2y'(x)*exp(-2*y(x))=0 (初期条件y(0)=0, y'(0)=1)を解け。??
[Easy] 微分方程式 ((y'(x))^2)'+2y'(x)*exp(-2*y(x))=0 (初期条件y(0)=0, y'(0)=1)を解け。??
KJ2guel2aRE
障害者顔のゴミ山ほだかヒトモドキ轢き殺されろ
障害者顔のゴミ山ほだかヒトモドキ轢き殺されろ
[Hard] 定数αが0<α<π/2の範囲にある。tが全実数を動くときf(t)=1+|t|-cos(2(t-α))の最小値を求めよ。
[Easy] 定数αが0<α<π/2の範囲にある。tが全実数を動くときf(t)=1+2|t|-cos(2(t-α))の最小値を求めよ。
[Easy] 定数αが0<α<π/2の範囲にある。tが全実数を動くときf(t)=1+2|t|-cos(2(t-α))の最小値を求めよ。
[Hard] \lim_{n→+∞} cos (2πen!)を求めよ。
[Easy] \lim_{n→+∞} cos (2πn!)を求めよ。
[Easy] \lim_{n→+∞} cos (2πn!)を求めよ。
[未解決]x^3+y^3+z^3=114を満たす整数x,y,zを求めよ
[糞簡単]x^3+y^3+z^3=514を満たす整数x,y,zを求めよ
[糞簡単]x^3+y^3+z^3=514を満たす整数x,y,zを求めよ
あげ
あげ
[例9-3]
次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか１つは0でなく、
かつどの絶対値も100万を超えないものが存在することを示せ。
[Easy] ｜a + b√2 + c√3｜< 10^(-11),
[Hard] ｜a + b√2 + c√3｜< 10^(-12),
秋山 仁 + ピーター・フランクル 共著：
［完全攻略］数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社 (1991/Nov)
注） Hrad は鳩ノ巣原理では解けません。
次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか１つは0でなく、
かつどの絶対値も100万を超えないものが存在することを示せ。
[Easy] ｜a + b√2 + c√3｜< 10^(-11),
[Hard] ｜a + b√2 + c√3｜< 10^(-12),
秋山 仁 + ピーター・フランクル 共著：
［完全攻略］数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社 (1991/Nov)
注） Hrad は鳩ノ巣原理では解けません。
97 -56√3 = 1/(97+56√3) = 0.005154776
99 -70√2 = 1/(99+70√2) = 0.005050634
辺々足して14で割る。
14 - 5√2 - 4√3 = 7.28957859×10^(-4) ････ (1)
辺々引いて2で割る。
-1 + 35√2 - 28√3 = 5.207113×10^(-5) ････ (2)
(2)×14 - (1)
-28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8) ････ (3)
また、
127 + 138√2 -186√3 = 2.1399676×10^(-5) ････ (4)
205 - 58√2 - 71√3 = 6.0449702×10^(-6) ････ (5)
* 3.352882344113････×10^(-13）まではあるらしい｡
99 -70√2 = 1/(99+70√2) = 0.005050634
辺々足して14で割る。
14 - 5√2 - 4√3 = 7.28957859×10^(-4) ････ (1)
辺々引いて2で割る。
-1 + 35√2 - 28√3 = 5.207113×10^(-5) ････ (2)
(2)×14 - (1)
-28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8) ････ (3)
また、
127 + 138√2 -186√3 = 2.1399676×10^(-5) ････ (4)
205 - 58√2 - 71√3 = 6.0449702×10^(-6) ････ (5)
* 3.352882344113････×10^(-13）まではあるらしい｡
[Hard]
a=96051, b=-616920, c=448258 のとき
a + b√2 + c√3 = 3.352882344113･･･×10^(-13)
a=96051, b=-616920, c=448258 のとき
a + b√2 + c√3 = 3.352882344113･･･×10^(-13)
6を法として+1に合同な素数と、-1に合同な素数が、p以下に同数あるような素数pを「均衡素数」と呼ぶことにする。
(例えば2,3,7,13は均衡素数だが、5,11はそうでない)
このとき、
[Easy] 均衡素数を10個見つけよ
[Hard] 均衡素数を20個見つけよ
(例えば2,3,7,13は均衡素数だが、5,11はそうでない)
このとき、
[Easy] 均衡素数を10個見つけよ
[Hard] 均衡素数を20個見つけよ
[Easy]
2 (0)
3 (0)
7 (1)
13 (2)
19 (3)
37 (5)
43 (6)
79 (10)
163 (18)
223 (23)
229 (24)
2 (0)
3 (0)
7 (1)
13 (2)
19 (3)
37 (5)
43 (6)
79 (10)
163 (18)
223 (23)
229 (24)
１１人いる！
>>174
38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9),
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10),
38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9),
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10),
>>174
97-56√3 = (2-√3)^4 = 1/(2+√3)^4,
99-70√2 = (√2 -1)^6 = 1/(1+√2)^6,
より
-28 +495√2 -388√3 = {-(√2 -1)^12 +（2-√3)^8}/28, ････ (3)
97-56√3 = (2-√3)^4 = 1/(2+√3)^4,
99-70√2 = (√2 -1)^6 = 1/(1+√2)^6,
より
-28 +495√2 -388√3 = {-(√2 -1)^12 +（2-√3)^8}/28, ････ (3)
38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9) ････ (6)
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10) ････ (7)
(4)×2 - (5)×7
-1181 +682√2 +125√3 = 4.84560485×10^(-7) ････ (8)
(6)×4 - (3)
153704 - 56075√2 -42956√3 = 2.11768032×10^(-12) ････ (9)
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10) ････ (7)
(4)×2 - (5)×7
-1181 +682√2 +125√3 = 4.84560485×10^(-7) ････ (8)
(6)×4 - (3)
153704 - 56075√2 -42956√3 = 2.11768032×10^(-12) ････ (9)
>>139
>>140
[Easy]
2018 京都大学前期 数学(理系) 第2問
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11187969786 2018/03/23
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12186895702 2018/03/01
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12202651132 2019/01/29
02:07 東ふく郎
03:52 鈴木貫太郎
>>140
[Easy]
2018 京都大学前期 数学(理系) 第2問
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11187969786 2018/03/23
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12186895702 2018/03/01
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12202651132 2019/01/29
02:07 東ふく郎
03:52 鈴木貫太郎
>>182
(3)×1372 - (2)
-38415 +679105√2 -532308√3 = 6.778753462914×10^(-9) ････ (10)
また
-292 -3153√2 +2743√3 = 2.999061727274×10^(-6) ････ (11)
(5) - (11)×2
789 +6248√2 -5557√3 = 4.68467447809×10^(-8) ････ (12)
(11) - (3)×79
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10) ････ (7)
(10)×3 + (7)×50
-19245 -75585√2 +72826√3 = 4.0668514754165×10^(-8) ････ (13)
(13) - (3)
-19217 -76080√2 +73214√3 = 2.7108554859783×10^(-9) ････ (14)
(13) - (14)×15
269010 +1065615√2 -1025384√3 = 5.68246449041×10^(-12) ････ (15)
(3)×10 - (10)×2 - (13)×9
249755 -672995√2 +405302√3 = 2.4529685541555×10^(-12) ････ (16)
(16) - (9)
96051 -616920√2 +448258√3 = 3.352882344112924×10^(-13) ････ (17)
(3)×1372 - (2)
-38415 +679105√2 -532308√3 = 6.778753462914×10^(-9) ････ (10)
また
-292 -3153√2 +2743√3 = 2.999061727274×10^(-6) ････ (11)
(5) - (11)×2
789 +6248√2 -5557√3 = 4.68467447809×10^(-8) ････ (12)
(11) - (3)×79
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10) ････ (7)
(10)×3 + (7)×50
-19245 -75585√2 +72826√3 = 4.0668514754165×10^(-8) ････ (13)
(13) - (3)
-19217 -76080√2 +73214√3 = 2.7108554859783×10^(-9) ････ (14)
(13) - (14)×15
269010 +1065615√2 -1025384√3 = 5.68246449041×10^(-12) ････ (15)
(3)×10 - (10)×2 - (13)×9
249755 -672995√2 +405302√3 = 2.4529685541555×10^(-12) ････ (16)
(16) - (9)
96051 -616920√2 +448258√3 = 3.352882344112924×10^(-13) ････ (17)
>>167
[Hard?]
0<α≦π/12 のとき
f(t) ≧ f(0) = 1 - cos(2α),
π/12≦α<π/2 のとき
f(t) ≧ f(α-π/12)
= 1 + (α-π/12) - cos(π/6)
= 1 + (α-π/12) - (√3)/2,
[Easy]
t<0 で単調減少、t>0 で単調増加だから
f(t) ≧ f(0) = 1 - cos(2α),
1文字変えても難易度が変わらない問題
[Hard?]
0<α≦π/12 のとき
f(t) ≧ f(0) = 1 - cos(2α),
π/12≦α<π/2 のとき
f(t) ≧ f(α-π/12)
= 1 + (α-π/12) - cos(π/6)
= 1 + (α-π/12) - (√3)/2,
[Easy]
t<0 で単調減少、t>0 で単調増加だから
f(t) ≧ f(0) = 1 - cos(2α),
1文字変えても難易度が変わらない問題
>>168
[Hard?]
e = Σ(k=0,∞) 1/k!,
より
{e･n!} = 1/(n+1) + 1/((n+1)(n+2)) + 1/((n+1)(n+2)(n+3)) + ････
< 1/(n+1) + 1/(n+1)^2 + 1/(n+1)^3 + ････ (等比級数)
= 1/n,
cos(2πen!) = cos(2π{e･n!}) ゆえ
1 > cos(2πen!) > cos(2π/n) > 1 - 2(π/n)^2,
∴ cos(2πen!) = 1 (n→∞)
[Easy]
cos(2πn!) = cos(0) = 1,
1文字変えても難易度が変わらない問題
[Hard?]
e = Σ(k=0,∞) 1/k!,
より
{e･n!} = 1/(n+1) + 1/((n+1)(n+2)) + 1/((n+1)(n+2)(n+3)) + ････
< 1/(n+1) + 1/(n+1)^2 + 1/(n+1)^3 + ････ (等比級数)
= 1/n,
cos(2πen!) = cos(2π{e･n!}) ゆえ
1 > cos(2πen!) > cos(2π/n) > 1 - 2(π/n)^2,
∴ cos(2πen!) = 1 (n→∞)
[Easy]
cos(2πn!) = cos(0) = 1,
1文字変えても難易度が変わらない問題
>>165
与式は
{(y '(x))^2 - exp(-2･y(x))} ' = 0,
xで積分して
(y '(x))^2 - exp(-2･y(x)) = (y '(0))^2 - 1
= cosh(b)^2 - 1 = sinh(b)^2 = aa, (とおく)
両辺に exp(2･y(x)) を掛けて
{y '(x)･exp(y(x))}^2 - 1 = {a･exp(y(x))}^2
a･exp(y(x)) = z(x) とおくと
(z '(x)/a)^2 - 1 = (z(x))^2,
z(0) = a･exp(y(0)) = a･exp(0) = a,
z '(0) = a･y '(0) = a･cosh(b),
よって
z(x) = sinh(ax+b),
y(x) = log| sinh(ax+b) /a |.
1文字変えても難易度が変わらない問題
与式は
{(y '(x))^2 - exp(-2･y(x))} ' = 0,
xで積分して
(y '(x))^2 - exp(-2･y(x)) = (y '(0))^2 - 1
= cosh(b)^2 - 1 = sinh(b)^2 = aa, (とおく)
両辺に exp(2･y(x)) を掛けて
{y '(x)･exp(y(x))}^2 - 1 = {a･exp(y(x))}^2
a･exp(y(x)) = z(x) とおくと
(z '(x)/a)^2 - 1 = (z(x))^2,
z(0) = a･exp(y(0)) = a･exp(0) = a,
z '(0) = a･y '(0) = a･cosh(b),
よって
z(x) = sinh(ax+b),
y(x) = log| sinh(ax+b) /a |.
1文字変えても難易度が変わらない問題
[Hard] a_1^{a_2^・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}とa_2^{a_3・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}
がいずれも77で割って1余るような、2以上20以下の整数の組(a_1,・・・,a_{17})の個数を求めよ。
[Easy] a_1^{a_2^・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}とa_2^{a_3・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}
がいずれも17で割って1余るような、2以上20以下の整数の組(a_1,・・・,a_{17})の個数を求めよ。
がいずれも77で割って1余るような、2以上20以下の整数の組(a_1,・・・,a_{17})の個数を求めよ。
[Easy] a_1^{a_2^・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}とa_2^{a_3・・・^{a_{16}^{a_{17}} }・・・}
がいずれも17で割って1余るような、2以上20以下の整数の組(a_1,・・・,a_{17})の個数を求めよ。
[Hard] 1/9998の小数第96位の数を求めよ。
[Easy] 1/9999の小数第96位の数を求めよ。
[Easy] 1/9999の小数第96位の数を求めよ。
1/9998 = 1/(10^4 -2) = Σ[k=1,∞] 2^{k-1} (1/10000)^k
k≦23 の項は小数第92位迄で収まる。
k≧24 の項の和は
8388608×10^{-96} + 16777216×10^{-100} + 33554432×10^{-104} + 67108864×10^{-108} + ････
= (8388608 + 1677.7216 + 0.335544 + 0.0000671 + ････) × 10^{-96}
= 8390286.057×10^{-96}
よって小数第93〜96位の数は ０２８６
(参考)
1/9998 =
0.0001000200 0400080016 0032006401 2802560512 1024204840
9681936387 2774554910 9821964392 8785757151 43028６0572
1144228845 7691538307 6615323064 6129225845 1690338067
6135227045 4090818163 6327265453 0906181236 2472494498 9
[Easy]
1/9999 = 0.000100010001････
∴ 小数第93〜96位の数は ０００１
k≦23 の項は小数第92位迄で収まる。
k≧24 の項の和は
8388608×10^{-96} + 16777216×10^{-100} + 33554432×10^{-104} + 67108864×10^{-108} + ････
= (8388608 + 1677.7216 + 0.335544 + 0.0000671 + ････) × 10^{-96}
= 8390286.057×10^{-96}
よって小数第93〜96位の数は ０２８６
(参考)
1/9998 =
0.0001000200 0400080016 0032006401 2802560512 1024204840
9681936387 2774554910 9821964392 8785757151 43028６0572
1144228845 7691538307 6615323064 6129225845 1690338067
6135227045 4090818163 6327265453 0906181236 2472494498 9
[Easy]
1/9999 = 0.000100010001････
∴ 小数第93〜96位の数は ０００１
>>176 [Hard] 残り9個
608981812891 (11669295392)
608981812951 (11669295393)
608981812993 (11669295394)
608981813507 (11669295402)
608981813621 (11669295403)
608981813819 (11669295409)
608981813837 (11669295410)
608981813861 (11669295411)
608981813929 (11669295412)
608981812891 (11669295392)
608981812951 (11669295393)
608981812993 (11669295394)
608981813507 (11669295402)
608981813621 (11669295403)
608981813819 (11669295409)
608981813837 (11669295410)
608981813861 (11669295411)
608981813929 (11669295412)
p ≡ +1 p ≡ -1 (mod 6)
-------------------------------
608981812721
608981812759
608981812771
608981812867
608981812891*
608981812919
608981812951*
608981812961
608981812993*
608981813017
608981813029
608981813123
608981813137
608981813191
608981813261
608981813269
608981813273
608981813303
608981813311
608981813347
608981813357
608981813449
608981813459
608981813501
608981813507*
608981813569
608981813621*
608981813677
608981813683
608981813701
608981813707
608981813711
608981813717
608981813719
608981813777
608981813779
608981813789
608981813807
608981813819*
608981813833
608981813837*
608981813851
608981813861*
608981813927
608981813929*
608981813939
608981813941*
608981813963
608981814019*
608981814043
608981814127
608981814131
608981814143*
608981814149
608981814173
------------------------------
* 印は「均衡素数」
-------------------------------
608981812721
608981812759
608981812771
608981812867
608981812891*
608981812919
608981812951*
608981812961
608981812993*
608981813017
608981813029
608981813123
608981813137
608981813191
608981813261
608981813269
608981813273
608981813303
608981813311
608981813347
608981813357
608981813449
608981813459
608981813501
608981813507*
608981813569
608981813621*
608981813677
608981813683
608981813701
608981813707
608981813711
608981813717
608981813719
608981813777
608981813779
608981813789
608981813807
608981813819*
608981813833
608981813837*
608981813851
608981813861*
608981813927
608981813929*
608981813939
608981813941*
608981813963
608981814019*
608981814043
608981814127
608981814131
608981814143*
608981814149
608981814173
------------------------------
* 印は「均衡素数」
>>178 [Easy] の方は
p≡+1 p≡-1 (mod 6)
-----------------
5
7 *
11
13 *
17
19 *
23
29
31
37 *
41
43 *
47
53
59
61
67
71
73
79 *
83
89
97
101
103
107
109
113
127
131
137
139
149
151
157
163 *
167
173
179
181
191
193
197
199
211
223 *
227
229 *
233
239
241
251
257
263
269
271
* 印は「均衡素数」
p≡+1 p≡-1 (mod 6)
-----------------
5
7 *
11
13 *
17
19 *
23
29
31
37 *
41
43 *
47
53
59
61
67
71
73
79 *
83
89
97
101
103
107
109
113
127
131
137
139
149
151
157
163 *
167
173
179
181
191
193
197
199
211
223 *
227
229 *
233
239
241
251
257
263
269
271
* 印は「均衡素数」
[Hard] p(p+2)が30個の正の約数を持つような、素数pのうち最小のものを求めよ。
[Easy] p(p+2)^2が30個の正の約数を持つような、素数pのうち最小のものを求めよ。
https://artofproblemsolving.com/community/c920896_2019_india_prmo
[Easy] p(p+2)^2が30個の正の約数を持つような、素数pのうち最小のものを求めよ。
https://artofproblemsolving.com/community/c920896_2019_india_prmo
>>196
30=2*3*5 であるから、30 個の正の約数をもつ正数は 3種類の素数 p1,p2,p3 で p1*p2^2*p3^4 と表される
p=2 のとき p(p+2)=8 や p(p+2)^2=32 は条件を満たさない
pが奇素数ならば p+2 は p と素であるから、
[Hard] p=p1,p+2=p2^2*p3^4
p2^2*p3^4 の形の数は 2025, 3969, 5625, ... であり、そのうち p=p2^2*p3^4-2 が素数になる最小数は p=3967 のとき
[Easy] p=p1,p+2=p2*p3^2
p2*p3^2 の形の数は 45, 63, 75, ... であり、そのうち p=p2*p3^2-2 が素数になる最小数は p=43 のとき
30=2*3*5 であるから、30 個の正の約数をもつ正数は 3種類の素数 p1,p2,p3 で p1*p2^2*p3^4 と表される
p=2 のとき p(p+2)=8 や p(p+2)^2=32 は条件を満たさない
pが奇素数ならば p+2 は p と素であるから、
[Hard] p=p1,p+2=p2^2*p3^4
p2^2*p3^4 の形の数は 2025, 3969, 5625, ... であり、そのうち p=p2^2*p3^4-2 が素数になる最小数は p=3967 のとき
[Easy] p=p1,p+2=p2*p3^2
p2*p3^2 の形の数は 45, 63, 75, ... であり、そのうち p=p2*p3^2-2 が素数になる最小数は p=43 のとき
[Easy]
No.18
What is the smallest prime number p such that p^3 + 4p^2 + 4p has exactly 30 positive divisors ?
p+2 = q^7 とすると… (q=2,3,5は×) q=7 で p=823541
[Hard]
p+2 = q^14 とすると… (q=2,3 は×) q=5 で p=6103515623
No.18
What is the smallest prime number p such that p^3 + 4p^2 + 4p has exactly 30 positive divisors ?
p+2 = q^7 とすると… (q=2,3,5は×) q=7 で p=823541
[Hard]
p+2 = q^14 とすると… (q=2,3 は×) q=5 で p=6103515623
[Lunatic] pとp^4+15が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。
[Trivial] pとp^4+14が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。
[Trivial] pとp^4+14が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。
Lunaticって
恐ろしく簡単
って意味なんだったっけ
恐ろしく簡単
って意味なんだったっけ
訂正
[Lunatic] pとp^4+18が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。
[Trivial] pとp^4+14が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。
[Lunatic] pとp^4+18が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。
[Trivial] pとp^4+14が両方とも素数になるようなpが存在すれば全て求めよ。
[Trivial]
存在しない。
p=3 のとき p^4 + 14 = 95 = 5×19,
p=5 のとき p^4 + 14 = 639 = 3×3×71,
p≠3,5 のとき 15の倍数。
京大の問題らしい…
存在しない。
p=3 のとき p^4 + 14 = 95 = 5×19,
p=5 のとき p^4 + 14 = 639 = 3×3×71,
p≠3,5 のとき 15の倍数。
京大の問題らしい…
[Lunatic]
p = 5, 13, 29, 31, 73, 97, … などがある。
すべてぢゃないけど。
p = 5, 13, 29, 31, 73, 97, … などがある。
すべてぢゃないけど。
Lunatic] \int^1_{-1} |x^6-x/2-1/2| dxを求めよ。
[Trivial] \int^1_{-1} |x^2-x/2-1/2| dxを求めよ。
[Trivial] \int^1_{-1} |x^2-x/2-1/2| dxを求めよ。
>>186
-28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8) ････ (3)
789 + 6248√2 - 5557√3 = 4.68467447809×10^(-8) ････ (12)
(3)×21 - (12)×17
-14001 - 95821√2 + 86321√3 = 7.161833560804×10^(-10) ････ (18)
1920 - 42258√2 + 33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10) ････ (7)
(7)×2 - (18)
17841 + 11305√2 - 19531√3 = 0.9710681853653×10^(-10)
-28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8) ････ (3)
789 + 6248√2 - 5557√3 = 4.68467447809×10^(-8) ････ (12)
(3)×21 - (12)×17
-14001 - 95821√2 + 86321√3 = 7.161833560804×10^(-10) ････ (18)
1920 - 42258√2 + 33395√3 = 4.0664508730847×10^(-10) ････ (7)
(7)×2 - (18)
17841 + 11305√2 - 19531√3 = 0.9710681853653×10^(-10)
>>204
[Trivial]
x^2 - x/2 - 1/2 = (x+1/2)(x-1) = (x-α)(x-β),
(与式) = ∫[-1, α] (xx - x/2 - 1/2) dx + ∫[α,β] (β-x)(x-α) dx
= [ (1/3)x^3 - (1/4)xx - (1/2)x ](x=-1,α) + (1/6)(β-α)^3 (←公式)
= 1/12 + 7/48 + 9/16
= 19/24
= 0.791667
[Trivial]
x^2 - x/2 - 1/2 = (x+1/2)(x-1) = (x-α)(x-β),
(与式) = ∫[-1, α] (xx - x/2 - 1/2) dx + ∫[α,β] (β-x)(x-α) dx
= [ (1/3)x^3 - (1/4)xx - (1/2)x ](x=-1,α) + (1/6)(β-α)^3 (←公式)
= 1/12 + 7/48 + 9/16
= 19/24
= 0.791667
[Hard] rを実数定数とするとき、xについての方程式x^2=r[x]の相異なる正の実数解の個数を求めよ。
[Easy] rを実数定数とするとき、xについての方程式x^2=rxの相異なる正の実数解の個数を求めよ。
[Easy] rを実数定数とするとき、xについての方程式x^2=rxの相異なる正の実数解の個数を求めよ。
[Hard]
x>0 より (左辺) >0, [x] ≧ 0,
・r≦0 のとき
(右辺) = r[x] ≦ 0 だから０個,
・0≦r<4 のとき
[r] 個
・4≦r のとき
[r] = r' とおく。
0 ≦ {r} < 1/(r'-2) のとき３個 (r'-2≦x<r'-1, r'-1≦x<r', r'≦x<r'+1)
1/(r'-2) ≦ {r} < 1 のとき２個 (r'-1≦x<r', r'≦x<r'+1)
[Easy]
与式と x>0 より x=r,
・r≦0 のとき０個
・r>0 のとき１個
1文字変えても難易度が変わらない問題
x>0 より (左辺) >0, [x] ≧ 0,
・r≦0 のとき
(右辺) = r[x] ≦ 0 だから０個,
・0≦r<4 のとき
[r] 個
・4≦r のとき
[r] = r' とおく。
0 ≦ {r} < 1/(r'-2) のとき３個 (r'-2≦x<r'-1, r'-1≦x<r', r'≦x<r'+1)
1/(r'-2) ≦ {r} < 1 のとき２個 (r'-1≦x<r', r'≦x<r'+1)
[Easy]
与式と x>0 より x=r,
・r≦0 のとき０個
・r>0 のとき１個
1文字変えても難易度が変わらない問題
>>173
次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか１つは0でなく、
かつどの絶対値もnを超えないものが存在するか？
｜a + b√2 + c√3｜< 1/(n^2),
[Hard] n = 10^6
[Lunatic] n = 10^m
次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか１つは0でなく、
かつどの絶対値もnを超えないものが存在するか？
｜a + b√2 + c√3｜< 1/(n^2),
[Hard] n = 10^6
[Lunatic] n = 10^m
[Lunatic] (√5+2)^{20000}の小数第13000位の数字を求めよ。
[Hard] (√5+2)^{20000}の小数第12000位の数字を求めよ。
[Trivial] (√4+2)^{20000}の小数第12000位の数字を求めよ。
[Hard] (√5+2)^{20000}の小数第12000位の数字を求めよ。
[Trivial] (√4+2)^{20000}の小数第12000位の数字を求めよ。
[Trivial]
4^20000 = 158426015･･･(12042桁)･･･5509376
答え「０」(整数なので 999･･･ の表示も可能だがここでは 000･･･ をとる)
[Hard / Lunatic]
(√5 +2)^20000 = 181307178･･･(12540桁)･･･000000002 - (√5 -2)^20000,
(√5 -2)^20000 = 5.51550142･･･ × 10^{-12540}
第12000位は0 ･･･ 答え「９」
第13000位は6 ･･･ 答え「３」
4^20000 = 158426015･･･(12042桁)･･･5509376
答え「０」(整数なので 999･･･ の表示も可能だがここでは 000･･･ をとる)
[Hard / Lunatic]
(√5 +2)^20000 = 181307178･･･(12540桁)･･･000000002 - (√5 -2)^20000,
(√5 -2)^20000 = 5.51550142･･･ × 10^{-12540}
第12000位は0 ･･･ 答え「９」
第13000位は6 ･･･ 答え「３」
>>206
∫[α,β] (β-x)(x-α) dx = (1/6)(β-α)^3,
4点 (α,0,0) (β,0,0) (α,0,β-α) (β,β-α,0) を頂点とする
四面体を考える。
x軸に垂直な断面は長方形で S(x) = (β-x)(x-α),
体積Vは縦・横・高さが β-αの立方体の体積の 1/6
∴ (左辺) = V = (1/6)(β-α)^3,
∫[α,β] (β-x)(x-α) dx = (1/6)(β-α)^3,
4点 (α,0,0) (β,0,0) (α,0,β-α) (β,β-α,0) を頂点とする
四面体を考える。
x軸に垂直な断面は長方形で S(x) = (β-x)(x-α),
体積Vは縦・横・高さが β-αの立方体の体積の 1/6
∴ (左辺) = V = (1/6)(β-α)^3,
>>201
[Trivial]
nが偶数のとき
n^4 + 14 ≡ 0 (mod 2)
nが3の倍数でないとき
n^2 ≡ 1 (mod 3) フェルマーの小定理
n^4 + 14 ≡ 1^2 + 14 = 15 ≡ 0 (mod 3)
nが5の倍数でないとき
n^4 + 14 ≡ 1 + 14 = 15 ≡ 0 (mod 5)
nが7の倍数のとき
n^4 + 14 ≡ 0 (mod 7)
これらはいずれも素数でない。
n^4 + 14 が素数になるのはnが奇数かつ15の倍数であり7と素である場合に限る。
(例) 165, 195, 255, 405, …
[Trivial]
nが偶数のとき
n^4 + 14 ≡ 0 (mod 2)
nが3の倍数でないとき
n^2 ≡ 1 (mod 3) フェルマーの小定理
n^4 + 14 ≡ 1^2 + 14 = 15 ≡ 0 (mod 3)
nが5の倍数でないとき
n^4 + 14 ≡ 1 + 14 = 15 ≡ 0 (mod 5)
nが7の倍数のとき
n^4 + 14 ≡ 0 (mod 7)
これらはいずれも素数でない。
n^4 + 14 が素数になるのはnが奇数かつ15の倍数であり7と素である場合に限る。
(例) 165, 195, 255, 405, …
[Lunatic] 8^n+49が素数であるような自然数nを全て求めよ。
[Easy] 8^n+47が素数であるような自然数nを全て求めよ。
https://artofproblemsolving.com/community/c2399561_2021_greece_junior_math_olympiad
[Easy] 8^n+47が素数であるような自然数nを全て求めよ。
https://artofproblemsolving.com/community/c2399561_2021_greece_junior_math_olympiad
[Easy] 2^m + 47 が素数であるような自然数mを全て求めよ。
m：偶数 → 3の倍数
m≡3 (mod 4) → 5の倍数
残りは m≡1 (mod 4) だが…
m≡1 (mod 3) → 7の倍数
m≡3 (mod 10) → 11の倍数
m≡9 (mod 12) → 13の倍数
m≡2 (mod 8) → 17の倍数
m≡-1 (mod 18) → 19の倍数
最小の素数： m=5 2^5 + 47 = 79
m：偶数 → 3の倍数
m≡3 (mod 4) → 5の倍数
残りは m≡1 (mod 4) だが…
m≡1 (mod 3) → 7の倍数
m≡3 (mod 10) → 11の倍数
m≡9 (mod 12) → 13の倍数
m≡2 (mod 8) → 17の倍数
m≡-1 (mod 18) → 19の倍数
最小の素数： m=5 2^5 + 47 = 79
残りは m≡-7,5 (mod 36) だが…
2番目の素数： m=209
2番目の素数： m=209
[Hard] 方程式(√3)×tan50°×tan70°=tanx°を解け(但し0<x<90)。
[Easy] 方程式(√3)×tan20°×tan70°=tanx°を解け(但し0<x<90)。
[Easy] 方程式(√3)×tan20°×tan70°=tanx°を解け(但し0<x<90)。
[Hard] 実数x,yがx^2+y^2+xy≦6を満たすとき、f(x,y)=x^2y+xy^2-(x+y)^2+x+yの最大値と最小値を求めよ。
[Easy] 実数x,yがx^2+y^2+xy=6を満たすとき、f(x,y)=x^2y+xy^2-(x+y)^2+x+yの最大値と最小値を求めよ。
[Easy] 実数x,yがx^2+y^2+xy=6を満たすとき、f(x,y)=x^2y+xy^2-(x+y)^2+x+yの最大値と最小値を求めよ。
u = (x+y)/√2,
v = (x-y)/√6,
とおくと
xx+xy+yy = (3/2)(uu+vv),
f(x,y) = (x+y)(x-1)(y-1)
= (u/√2){(u-√2)^2 - 3vv},
uu+vv ≦ 4 では
最大値 3 (u=-1/√2, v=±√(7/2))
最小値 -2(√2)(1+√2)^2 (u=-2, v=0)
v = (x-y)/√6,
とおくと
xx+xy+yy = (3/2)(uu+vv),
f(x,y) = (x+y)(x-1)(y-1)
= (u/√2){(u-√2)^2 - 3vv},
uu+vv ≦ 4 では
最大値 3 (u=-1/√2, v=±√(7/2))
最小値 -2(√2)(1+√2)^2 (u=-2, v=0)
[Hard] 1,2,4の3種類の数字を横一列にn個(nは3以上の整数)並べて出来るn桁の整数のうち、49の倍数はいくつあるか？但し1,2,4は少なくとも1回は用いる。
[Easy] 1,2,4の3種類の数字を横一列にn個(nは3以上の整数)並べて出来るn桁の整数のうち、4の倍数はいくつあるか？但し1,2,4は少なくとも1回は用いる。
[Easy] 1,2,4の3種類の数字を横一列にn個(nは3以上の整数)並べて出来るn桁の整数のうち、4の倍数はいくつあるか？但し1,2,4は少なくとも1回は用いる。
>>220
[Hard] 値を求めることはできる
49次の逆行列を求めることができたら一般式も出せるだろうが
そんなのやりたくない
https://ideone.com/lAtxLx
[Hard] 値を求めることはできる
49次の逆行列を求めることができたら一般式も出せるだろうが
そんなのやりたくない
https://ideone.com/lAtxLx
>>220
[Easy] 値を求めることはできる
下2桁が12で、上の桁に4を含む …… 3^(n-2) - 2^(n-2)
下2桁が24で、上の桁に1を含む …… 3^(n-2) - 2^(n-2)
下2桁が44で、上の桁に1,2を含む …… 3^(n-2) - 2･2^(n-2) + 1,
これを合計すれば一般式を出せるだろうが…
3^(n-1) - (2^n) + 1,
[Easy] 値を求めることはできる
下2桁が12で、上の桁に4を含む …… 3^(n-2) - 2^(n-2)
下2桁が24で、上の桁に1を含む …… 3^(n-2) - 2^(n-2)
下2桁が44で、上の桁に1,2を含む …… 3^(n-2) - 2･2^(n-2) + 1,
これを合計すれば一般式を出せるだろうが…
3^(n-1) - (2^n) + 1,
そんなのやりたくない。
[Hard] \int^1_0 [log(1+x)]÷ x dxを求めよ。
[Easy] \int^1_0 [log(1+x)]✕ x dxを求めよ。
[Easy] \int^1_0 [log(1+x)]✕ x dxを求めよ。
[Lunatic] r=p^3+4q^3-32とする。p,q,rが全て素数であるような(p,q)の組み合わせを全て求めよ。
[Easy] r=p^3+3q^3-32とする。p,q,rが全て素数であるような(p,q)の組み合わせを全て求めよ。
[Easy] r=p^3+3q^3-32とする。p,q,rが全て素数であるような(p,q)の組み合わせを全て求めよ。
[Lunatic] x,y,z,nを自然数とし、n≧3且つn<zとする。x^n+y^n=z^nを満たす(x,y,z,n)の組が存在しないことを示せ。
[Easy] x,y,z,nを自然数とし、n≧3且つn≧zとする。x^n+y^n=z^nを満たす(x,y,z,n)の組が存在しないことを示せ。
https://artofproblemsolving.com/community/c4913_1987_india_national_olympiad
[Easy] x,y,z,nを自然数とし、n≧3且つn≧zとする。x^n+y^n=z^nを満たす(x,y,z,n)の組が存在しないことを示せ。
https://artofproblemsolving.com/community/c4913_1987_india_national_olympiad
[Hard] 平城君が1頭の鹿に以下の指示を与えて運動させている。
・平城君が表と裏が何れも確率1/2で出る鹿せんべいを投げる。
・裏が出た場合は鹿は動かず待機する。
・表が出た場合は、 (この回自体も含めて) それまでに裏の出た回数を3で割った余りkに対して鹿は次の「kノ型」の運動をする。
・「0ノ型」東に20m走る
・「1ノ型」西に10m、北に17m走る
・「2ノ型」西に10m、南に17m走る
平城君が鹿せんべいを20回投げて鹿がそれに応じた運動を終えたとき、鹿せんべいを投げる前のはじめの地点に鹿が戻っている確率を求めよ。
[Easy] 平城君が1頭の鹿に以下の指示を与えて運動させている。
・平城君が表と裏が何れも確率1/2で出る鹿せんべいを投げる。
・裏が出た場合は鹿は動かず待機する。
・表が出た場合は、 (この回自体も含めて) それまでに表の出た回数を3で割った余りkに対して鹿は次の「kノ型」の運動をする。
・「0ノ型」東に20m走る
・「1ノ型」西に10m、北に17m走る
・「2ノ型」西に10m、南に17m走る
平城君が鹿せんべいを20回投げて鹿がそれに応じた運動を終えたとき、鹿せんべいを投げる前のはじめの地点に鹿が戻っている確率を求めよ。
・平城君が表と裏が何れも確率1/2で出る鹿せんべいを投げる。
・裏が出た場合は鹿は動かず待機する。
・表が出た場合は、 (この回自体も含めて) それまでに裏の出た回数を3で割った余りkに対して鹿は次の「kノ型」の運動をする。
・「0ノ型」東に20m走る
・「1ノ型」西に10m、北に17m走る
・「2ノ型」西に10m、南に17m走る
平城君が鹿せんべいを20回投げて鹿がそれに応じた運動を終えたとき、鹿せんべいを投げる前のはじめの地点に鹿が戻っている確率を求めよ。
[Easy] 平城君が1頭の鹿に以下の指示を与えて運動させている。
・平城君が表と裏が何れも確率1/2で出る鹿せんべいを投げる。
・裏が出た場合は鹿は動かず待機する。
・表が出た場合は、 (この回自体も含めて) それまでに表の出た回数を3で割った余りkに対して鹿は次の「kノ型」の運動をする。
・「0ノ型」東に20m走る
・「1ノ型」西に10m、北に17m走る
・「2ノ型」西に10m、南に17m走る
平城君が鹿せんべいを20回投げて鹿がそれに応じた運動を終えたとき、鹿せんべいを投げる前のはじめの地点に鹿が戻っている確率を求めよ。
[Hard] 点Pが、座標平面上の点(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(0,1),(2,1),(3,1),(0,2),(1,2),(3,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(3,4)の何れかを運動する。1回の移動で、x軸方向に+1または-1、あるいはy軸方向に+1または-1移動する。点(0,0)からスタートして、9回目の移動で初めてゴールの(3,4)に到達する移動の仕方は何通りか?
[Easy] 点Pが、座標平面上の点(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(0,1),(2,1),(3,1),(0,2),(1,2),(3,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(3,4)の何れかを運動する。1回の移動で、x軸方向に+1または-1、あるいはy軸方向に+1または-1移動する。点(0,0)からスタートして、7回目の移動で初めてゴールの(3,4)に到達する移動の仕方は何通りか?
[Easy] 点Pが、座標平面上の点(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(0,1),(2,1),(3,1),(0,2),(1,2),(3,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(3,4)の何れかを運動する。1回の移動で、x軸方向に+1または-1、あるいはy軸方向に+1または-1移動する。点(0,0)からスタートして、7回目の移動で初めてゴールの(3,4)に到達する移動の仕方は何通りか?
[Hard] xについての方程式tanx=xの正の実数解を小さい順にa_1<a_2<a_3<…とする。\sum_{k=1}^{+∞} 1/a_k^2を求めよ。
[Easy] xについての方程式tanx=0の正の実数解を小さい順にa_1<a_2<a_3<…とする。\sum_{k=1}^{+∞} 1/a_k^2を求めよ。
[Easy] xについての方程式tanx=0の正の実数解を小さい順にa_1<a_2<a_3<…とする。\sum_{k=1}^{+∞} 1/a_k^2を求めよ。
あげ
このスレも20周年か
実質何人くらいで維持してきたんだろう
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1文字変えたら難易度が激変する問題
1 ：１３２人目の素数さん ：02/04/13 13:30
いろいろ作れそうですが、センスを感じるもの希望
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実質何人くらいで維持してきたんだろう
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1文字変えたら難易度が激変する問題
1 ：１３２人目の素数さん ：02/04/13 13:30
いろいろ作れそうですが、センスを感じるもの希望
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有名ですが…121回数検1級とか
x^14 + x^7 + 1 を係数が整数の範囲で因数分解しなさい。
x^14 + x^7 + 1 を係数が実数の範囲で因数分解しなさい。
実数なら高校範囲でゴリ押せるけど整数だと難易度めっちゃ上がる気がする…
x^14 + x^7 + 1 を係数が整数の範囲で因数分解しなさい。
x^14 + x^7 + 1 を係数が実数の範囲で因数分解しなさい。
実数なら高校範囲でゴリ押せるけど整数だと難易度めっちゃ上がる気がする…
[Hard] \int (1+tan x)^{-1} dxを求めよ。
[Easy] \int (1+tan x)^{+1} dxを求めよ。
[Easy] \int (1+tan x)^{+1} dxを求めよ。
[Hard] ∫^{1}_{-1} x^2/(1+e^x) dxを求めよ。
[Easy] ∫^{1}_{-1} x^0/(1+e^x) dxを求めよ。
[Easy] ∫^{1}_{-1} x^0/(1+e^x) dxを求めよ。
