有限と無限の区別が付かないあなたには純粋数学も応用数学も無理ですね あなたに手に負えるのは算数までです
>>3 ほいよ レーヴェンハイム?スコーレムの定理: ”定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す” 嫁め https://twitter.com/olb52ow00eP05RZ/status/1384084508899614723 レーヴェンハイム?スコーレムの定理 レーヴェンハイム?スコーレムの定理(英: Lowenheim?Skolem theorem)とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。 正確な記述 この定理は、上の箇条書きされた部分に対応して2つに分割されることが多い。ある構造がより小さい濃度の初等部分構造を持つとする定理の部分を下方レーヴェンハイム?スコーレムの定理 と呼ぶ。ある構造がより大きい濃度の初等拡張を持つとする定理の部分を上方レーヴェンハイム?スコーレムの定理 と呼ぶ。 定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一部とする場合もある。 例と帰結 自然数を N、実数を R とする。この定理によれば、(N, +, ×, 0, 1) の理論(真の一階算術の理論)には非可算なモデルがあり、(R, +, ×, 0, 1) の理論(実閉体の理論)には可算なモデルがある。もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。レーヴェンハイム?スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。例えば、線型順序の完備性は実数が完備な順序体であることを特徴付けるのに使われるが、その線型順序の完備性は一階の性質ではない。 レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。 つづく https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>5 つづき https://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6wenheim%E2%80%93Skolem_theorem Lowenheim?Skolem theorem Consequences The statement given in the introduction follows immediately by taking M to be an infinite model of the theory. The proof of the upward part of the theorem also shows that a theory with arbitrarily large finite models must have an infinite model; sometimes this is considered to be part of the theorem. Illustration of the Lowenheim?Skolem theorem Proof sketch Upward part First, one extends the signature by adding a new constant symbol for every element of M. The complete theory of M for the extended signature σ' is called the elementary diagram of M. In the next step one adds κ many new constant symbols to the signature and adds to the elementary diagram of M the sentences c ≠ c' for any two distinct new constant symbols c and c'. Using the compactness theorem, the resulting theory is easily seen to be consistent. Since its models must have cardinality at least κ, the downward part of this theorem guarantees the existence of a model N which has cardinality exactly κ. It contains an isomorphic copy of M as an elementary substructure.[3][4]:100?102 (引用終り) 以上 >>4 >こんにちは。おじゃまします。 どうも 宜しくお願いいたします。 スレ主よ、サル石が、 定義すれば存在する、と書いたから、 では火星人を定義したら火星人は存在するのか、と質問してやったら、 >数学上で火星人を定義すれば数学上に火星人は存在する という珍レスを書いてきた(笑 おまけに質問少年というバカもそれに賛同して >数学における存在とは、定義があるということなので、火星人を適当に定義すれば、火星人は数学上で存在することになるのです と書いてきた(笑 この二人は2chの二大馬鹿だ(笑 僕は毎日毎日こういうドアホを相手にしているのだ(笑
>>11 哀れな素人さん、 どうも、スレ主です (引用開始) 定義すれば存在する、と書いたから、 では火星人を定義したら火星人は存在するのか、と質問してやったら、 >数学上で火星人を定義すれば数学上に火星人は存在する という珍レスを書いてきた(笑 (引用終り) ああ、それはバカな回答をしたものです 実社会では、通用しない人の考えですね ガキです。子供ですねw(^^; これ面白い(^^; https://news.yahoo.co.jp/articles/eb0d22041c90790f8ef5c07c54c15f32263d13ea 早稲田政経の入試で数学必須が話題に… “数学不要論”に天才数学者の答えは 4/19(月) 7:33配信 (ABEMA/『ABEMA Prime』より) ABEMA TIMES Yahoo ■政治経済に“数学必須”は当然? 公式の暗記や計算力ではない「論理力」 2つのビールの缶の上に板を乗せ、さらにその上に置いた2台のメトロノーム。最初はバラバラだった2台のメトロノームの振れ幅が、徐々に同期していく。しかし、これは必ず起こる現象でもない。この同期現象の方程式は「蔵本予想」と呼ばれるが、40年間誰一人として数学的に証明できなかった難問だ。その謎を解き明かしたのが東北大学教授の数学者・千葉逸人氏。 千葉氏が「解くのに6年かかった」と述べると、ネット掲示板『2ちゃんねる』創設者のひろゆき氏は「数式を出されて、解いていない人は(答えが)合っているかどうか分からないのではないか。合っているかどうか、その確認も含めて6年かかったのか」と質問。千葉氏は「私が解くのに6年かかった。論文を書いて、それを国際のジャーナルに出して、その後に数学の専門家がチェックする。そのチェックには2年かかった」と答えた。 つづく >>13 つづき ■「英語はできて当たり前」 割り勘ができない数学者も? 高校教育では、数学I・II・III、数学A・Bが現行科目となっている。千葉氏は、どれくらいのレベルまで必要と見ているのだろうか。 「具体的にどの知識を使うかの問題ではない。例えば、中学校3年生や高校1年生で『数学を勉強しなくていい』となってしまったら、そこで勉強するのをやめてしまう。私はそこがあまりよくないと思う。思考力を鍛えるには、継続的にずっと考えていく必要がある」 また、数学者の中にはレベルの高い研究をやりすぎて、簡単な掛け算や割り算ができなくなってしまうこともあるという。 「数学者同士で飲み会に行ったときに、割り勘の計算が誰もできないことがあった。もちろん計算力は大事で、研究にあたって、その上に抽象化した理論が乗ってくる。大学の教員など、研究レベルになると、ほとんどXやYを使った抽象的な計算ばかりやる。そればっかりやっていると、掛け算や割り算が逆にできなくなっちゃう」 思わぬところで役立つ数学の知識。数学を極めることで、生涯年収にも影響があるのだろうか。 千葉氏は「日本のデータでそれほど差がない」とした上で「アメリカでは非常に顕著だ。例えば、GoogleやAppleは数学の博士号を持っている人をどんどん採用している。アメリカでは数学でドクター(博士号)を取ると、就職はもう引く手あまただ。日本はその点ではちょっと遅れている」と語る。 (引用終り) 以上 ブログつくったので4649 mara.hatenablog.jp/entry/2021/04/18/190851
>>16 ありがとさん おサルのブログ見たけど あんたのガロア理論の理解って粗雑きわまりないね どこが粗雑だって? 教えてはやらん! 自分で考えろ!!w(^^; >>18 おサルさんが こっそり、改ざん修正できないように スナップショットを貼っておくよ(^^; <スナップショット> https://mara.hatenablog.jp/entry/2021/04/18/190851 ”雑談 ◆yH25M02vWFhP”を語る 5ch数学板の”名物男”について語る 2021-04-18 ガロア理論について一般人が知っとけばいいこと 雑談君はガロア理論に大変ご執心で、10年もの間、 5ch数学板でガロアと名の付くスレッドを立て続けたが 結局ガロア理論の基本定理も理解できなかった。 ガロア理論については、理学部数学科を卒業した人以外にとっては 「5次以上の方程式が、代数的に解けない」 (代数的に解けない=ベキ根だけ使ったのでは解けない、の意味) ということを証明する理論としてしか認識されてないし それ以上の興味はないようなので、そこに合わせて 一般人が知っとけばいいことを列挙する。 ガロア理論による5次以上の代数方程式の非可能性の概要 1.それぞれの代数方程式に対して、 方程式のガロア群なるものが存在する。 ガロア群 - Wikipedia 2.代数方程式がベキ根で解けるとき、そのときに限り、 その方程式のガロア群は、可解性という性質を持つ。 可解群 - Wikipedia 3.たいていのn次方程式のガロア群はn次の対称群である。 対称群 - Wikipedia 4.5次以上の対称群は可解性を有しない。 アーベル-ルフィニの定理 - Wikipedia 5.したがって、5次以上の代数方程式は一般的にベキ根で解けない。 つづく >>19 つづき 解の存在 6.代数方程式は必ず複素数の解をもつ。 方程式がn次なら、重複も含めて(※)n個の解をもつ。 (代数学の基本定理 C.F.ガウス) 代数学の基本定理 - Wikipedia ※重複を含めて、というのは同じ解が複数個あることを含めて、という意味 (ベキ根以外の方法を用いた)解の公式 7.ベキ根だけではなく他の関数(※)を使えば 代数方程式の解を表示する公式が得られる。 (トマエ(Thomae)の公式) Thomae's formula - Wikipedia ※具体的にはテータ関数と楕円積分もしくは超楕円積分 ベキ根は指数関数と対数関数(1/xの積分)によって構成される 数値解法 8.代数方程式の解の数値を得るだけなら、別に解の公式による必要はない。 例えば、偏角の原理を使えば、いくらでも正確に解の存在範囲を絞り込める 偏角の原理 - Wikipedia (引用終り) 以上 >>12 妄想症で虚言癖で詐欺師のあなたが実社会で通用するとは思えませんが >まあ、半年くらい晒しものにしてから >下記のガロア資料スレで、まな板にのせて、料理するのも面白いかもなw(^^ ・・・と、正規部分群が分からない阿呆が申しております
>>17 >教えてはやらん! 教えてはやれん、の誤りだろ? 雑談男は、大学1年の4月で数学オチコボレた、パクチーだもんなw >>18 >まあ、半年くらい・・・ 10年経っても無理w ガロア理論の基本定理を完全に誤解してるパクチーの雑談男にはな ギャハハハハハハ!!!(耳をつんざく高笑い) >>24 おっちゃんはそもそも数学すべてがわからない そんなおっちゃんは調和解析の本を買ったらしい Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals (Princeton Mathematical Series)
>>17-20 さっそくブログに追加したったwww mara.hatenablog.jp/entry/2021/04/18/190851 (追伸) さっそく、雑談男が悔しがって暴れております。 純粋・応用数学(含むガロア理論)7 つくづくみっともない男でございます。 >>27 自分はついついこんな本を買ってしまった THE MATH BOOK BIG IDEAS SIMPLY EXPLAINED そのうち、三省堂から翻訳が出るとが思うが dictionary.sanseido-publ.co.jp/features/%E4%B8%89%E7%9C%81%E5%A0%82%E5%A4%A7%E5%9B%B3%E9%91%91%E3%82%B7%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BA まず、その体の上で考えるかを最初に決めなければ、その代数方程式のガロア群は もとより、既約性も定まらない。通常は、体は標数が0であるものを考えることに して、その方程式の係数から作られる体K(標数0の最小の体である有理数体Qに 方程式の係数をすべて添加して拡大した体)の上で議論する。 もちろん、考えている係数が標数0の体の元ではない場合にはそれはそれでまた その標数の素体上で係数を添加した体の上で考えるのだ。 もとの方程式が係数体上で可約な場合には、ガロア群は連結にはならない。 既約な場合を考えれば十分だから通常は方程式の既約成分(既約分解したそれぞれ の因子)についてだけ議論をすれば良い。 数学では、方程式がある体の上で可約か既約かは(おのずと)決まっているとし、 可約な場合にはその因子分解も(おのずと)決まる、として具体的にその可約性の 判定方法とか因子分解を構成する方法は語らないで議論してしまうが、本当はそれ らを判定したり構成する具体的な手順(アルゴリズム)が(たとえばQの代数的数 を添加して拡大した体の上であれば)存在する。
>>30 補足 運営から目を付けられていたんだろう 自分では、数学分かっているつもりの”ハナタカ”やっているが その実、Fラン数学科の落ちこぼれさん 本質的なところが、全く分かっていない >>19-20 のガロア理論のブログも 粗雑きわまりない >>31 >まず、その 「まず、どの」でしょう? 一般人はガロア理論を理解する意欲はないから あきらめさせるためにわかった気分にさせてあげてるだけ 雑談君も所詮わかった気分になりたいだけのド素人www >>33 >自分では、数学分かっているつもりの”ハナタカ”やっているが ・・・その実、Fラン工学部卒のオチコボレ それが雑談君SET A 大阪と大学の間に、なんか2文字入るんだろ? ギャハハハハハハ!!!(耳をつんざく高笑い) 雑談君に問題だ Q1 Rに虚数iを添加すると代数的閉体になるが Qに虚数iを添加しても代数的閉体にはならない その理由を答えよw Q2 体Fが虚数iを添加するだけで代数的閉体になるには いかなる性質を有している必要があるか 答えよ
>>15 ID:kDwifQDr、千葉逸人をバカにするとは他人の実力を正確に判断出来ていない。 千葉は瀬田君と同じ工学部出身だけど、ピエロを演じているように見える千葉と、瀬田君とは全く実力が違う。 >>38 >ID:kDwifQDr、千葉逸人をバカにするとは他人の実力を正確に判断出来ていない。 >千葉は瀬田君と同じ工学部出身だけど、ピエロを演じているように見える千葉と、瀬田君とは全く実力が違う。 どうも。スレ主です(^^ 名前の議論は私はしない。だれか他人の第三者に迷惑がかかる可能性があるからね。もっとも、実名がばれても、当方は全く痛痒を感じないが ところで本題、「千葉逸人をバカにするとは他人の実力を正確に判断出来ていない」は、正しい 大学のプロ数学者とは、比較にならんぜ(^^; >>19 追加 >ガロア理論については、理学部数学科を卒業した人以外にとっては >一般人が知っとけばいいことを列挙する。 ここ、理学部数学科を卒業した人を、特別扱いするアホな発想 例えば、下記東工大 物理数学特論 現代物理学を学ぶために必要な数学の諸分野の講義を見よ 「群論」が最初。「群論」くらいは、いまどき普通だよ。物理に限らん。この「群論」に決定的な影響を与えたのがガロア先生だよ(^^ (参考) http://www.ocw.titech.ac.jp/index.php?module=General& ;action=T0300&GakubuCD=100&GakkaCD=12&KougiCD=201700383&Nendo=2017&lang=JA&vid=03 東工大 2017年度 物理数学特論 Advanced Applied Mathematics for Physicists 講義の概要とねらい 現代物理学を学ぶために必要な数学の諸分野、特に集合論、群論、位相空間論、多様体、微分幾何学, 、リー群および代数について説明する。 現代の物理学を学ぶ上で必要性が増してきている代数学および幾何学の幅広い話題について, 講義と演習を通して基本的な考え方や手法を習得することを目的とする。 到達目標 集合論, 群論, 位相空間論の基本的な理論体系を理解すること。 簡単な定理についてみずから証明をあたえ, 黒板で説明することを通じて,演繹的に推論をおこなう数学的な技術や手法を身につける。 学生が身につける力(ディグリー・ポリシー) ? 専門力 ? 展開力(実践力又は解決力) 授業計画 課題 第1回 群論 群の定義とその例について理解する 第2回 巡回群, 群準同型定理 巡回群, 群準同型定理について学ぶ 第3回 既約剰余類群 既約剰余類群について学ぶ 第4回 位相空間論 I 距離空間、連続性, 近傍系 位相空間の距離空間、連続性, 近傍系について理解する 第5回 位相空間論 II, コンパクト性、連結性 コンパクト性、連結性について理解する 第6回 多様体 I 微分可能多様体 微分可能多様体について理解する 第7回 多様体 II 接ベクトル空間、微分形式 接ベクトル空間、微分形式について理解する 第8回 位相幾何学 I 多様体のホモロジーとコホモロジー 多様体のホモロジーとコホモロジーについて理解する 第9回 位相幾何学 II de Rhamの定理 de Rhamの定理とその応用について理解する >>40 >ここ、理学部数学科を卒業した人を、特別扱いするアホな発想 >例えば、下記東工大 物理数学特論 現代物理学を学ぶために必要な数学の諸分野の講義を見よ >「群論」が最初。「群論」くらいは、いまどき普通だよ。物理に限らん。この「群論」に決定的な影響を与えたのがガロア先生だよ(^^ 補足 ・昔、プロ野球が人気だったころ(いまサッカーとかいんなプロスポーツがある) ・身体能力の高い人は、みんなプロ野球を目指した ・なにが言いたいか? 普段野球をやっている人が、陸上競技をやると、普段陸上競技をやっている人の上をいくというケースが普通にあった。中学、高校くらいまで ・陸上競技じゃ、稼げないでしょ ・これを理系の学科に当てはめると、理系で真に数理的な能力の高い人は、みんな物理を目指した。物理ならノーベル賞を貰えるから。賞金1億円。フィールズ賞は200万円?w 例えば、物理数学の大栗先生 (余談だが、一時プロ数学者が、物理を勉強するブームがあったらしい。野口五郎先生の本に書いてあった。ドリーニュ先生も一時物理を勉強したらしい(^^; ) >>40 授業計画が途中でちぎれてるぞw 授業計画 課題 第1回 群論 群の定義とその例について理解する 第2回 巡回群, 群準同型定理 巡回群, 群準同型定理について学ぶ 第3回 既約剰余類群 既約剰余類群について学ぶ 第4回 位相空間論 I 距離空間、連続性, 近傍系 位相空間の距離空間、連続性, 近傍系について理解する 第5回 位相空間論 II, コンパクト性、連結性 コンパクト性、連結性について理解する 第6回 多様体 I 微分可能多様体 微分可能多様体について理解する 第7回 多様体 II 接ベクトル空間、微分形式 接ベクトル空間、微分形式について理解する 第8回 位相幾何学 I 多様体のホモロジーとコホモロジー 多様体のホモロジーとコホモロジーについて理解する 第9回 位相幾何学 II de Rhamの定理 de Rhamの定理とその応用について理解する 第10回 実 Clifford 代数の表現 実 Clifford 代数の表現について理解する 第11回 球面上のベクトル場 球面上のベクトル場について理解する 第12回 複素 Clifford 代数の表現 複素 Clifford 代数の表現について理解する 第13回 Dirac spinor, 荷電共役 Dirac spinor, 荷電共役について理解する 第14回 回転群, Lorentz 群の表現 回転群, Lorentz 群の表現について理解する 第15回 Lie 群の表現 Lie 群の表現について理解する で?ガロア理論なんてどこにもでてこないぞw もしかして雑談男SET Aは、 群論=ガロア理論 と大誤解してないか?wwwwwww T工大のシラバスを調べたが やっぱり「ガロア理論」(注:群論に非ず!!!)は 数学科でしか教えてないな www.ocw.titech.ac.jp/index.php?module=General&action=T0300&JWC=202007025&lang=JA&vid=03 2020年度 代数学続論 Algebra III 講義の概要とねらい 本講義の主要なテーマは体の有限次代数拡大の理論・ガロア理論およびその応用である。 ガロア理論は現代数学の基礎へアプローチする際の最も重要な基盤理論の一つであり、 同時に大学で学修する代数学の一つの到達点であるとも言える。 本講義ではガロア理論の基本定理を習得し、その応用として代数方程式の可解性を含めた 様々なトピックについての理解を深めることを目的とする。 到達目標 体の拡大の基礎理論について、および有限次代数拡大とその剰余環による構成やガロア拡大などについて学ぶ。 さらに体の間の準同型やそれらの拡大、体の自己同型および代数閉包の存在などについても学修する。 ガロア拡大体の中間体と対応するガロア群の部分群との間の対応(ガロア対応)についての定理、 いわゆるガロア理論の基本定理を理解し、その応用として有限体の理論、代数方程式の代数的可解性の問題、 さらには作図問題などを理解する。 キーワード ガロア拡大、ガロアの基本定理、有限体、代数方程式の可解性 授業計画・課題 第1回 体とその拡大 講義中に指示する 第2回 単純拡大、代数的拡大 講義中に指示する 第3回 代数的閉包とその存在 講義中に指示する 第4回 分離拡大と非分離拡大 講義中に指示する 第5回 体の同型写像とその延長 講義中に指示する 第6回 最小分解体、正規拡大 講義中に指示する 第7回 ガロア拡大とそのガロア群 講義中に指示する 第8回 ガロアの基本定理 講義中に指示する 第9回 ガロア群の様々な計算例 講義中に指示する 第10回 円分体 講義中に指示する 第11回 トレースとノルム、有限体 講義中に指示する 第12回 巡回クンマー拡大 講義中に指示する 第13回 ガロア理論の応用:方程式のべき根による解法 講義中に指示する 第14回 ガロア理論の応用:定規とコンパスによる作図およびその具体例 講義中に指示する
>>41 >・昔、プロ野球が人気だったころ(いまサッカーとかいんなプロスポーツがある) >・身体能力の高い人は、みんなプロ野球を目指した >・なにが言いたいか? 普段野球をやっている人が、陸上競技をやると、普段陸上競技をやっている人の上をいくというケースが普通にあった。中学、高校くらいまで >・陸上競技じゃ、稼げないでしょ 雑談君は野球好きみたいだから、 数学は一切やめて、これからは野球一筋で生きたほうがいいよ >・これを理系の学科に当てはめると、理系で真に数理的な能力の高い人は、みんな物理を目指した。 > 物理ならノーベル賞を貰えるから。 > 賞金1億円。フィールズ賞は200万円? 雑談君はお金がほしいようだから、 数学とか物理とかじゃなく ITビジネスに精出したほうがいいよ ビル・ゲイツは大学中退だけど、資産ン兆円だから あ、兆は億の一万倍ね 知ってるだろうけどw >>19 大栗博司先生と比べれば雲泥の差w(^^ https://planck.exblog.jp/22344474/ 大栗博司のブログ 2014年 07月 12日 ガロア理論 さて、昨年の11月から、幻冬舎のウェブマガジンで連載してきた『数学の言葉で世界を見たら』も、今月の2回の配信で任期満了です。 連載最後の話題は、「ガロア理論」にしました。 ガロアは、決闘の前夜から早朝までかけて親友のに手紙を書き、数学における自らのアイデアの全貌を伝えようとしました。手紙の最後には、「僕にはもう時間がない。僕のアイデアはこの広大な分野において十分に発展されたとは言えないのだ」と書かれています。政治の混乱と社会の矛盾に翻弄された人生でした。 彼が遺書に書き残したアイデアは、その美しさが数学者を魅了しただけでなく、20世紀・21世紀の科学や技術の進歩に大きな影響を与えることになります。 20歳と7ヶ月の短い人生の中で、ガロアは何を成し遂げたのか。彼が切り開こうとしたのはどんな世界だったのか。 『数学の言葉で世界を見たら』 連載の第17回の記事はこちらから。 ⇒ 第17回 : 難しさを測る、美しさを測る 前編 https://www.gentosha.jp/article/2310/ 連載最終回の配信は7月27日(日曜日)の予定です。お楽しみに。 https://www.gentosha.jp/article/2311/ 数学の言葉で世界を見たら 幻冬舎 2014.07.27 更新 ツイート 第18回(最終回) 難しさを測る、美しさを測る 後編 大栗博司 なぜ解けたかをもう一度考えてみる ラグランジュは、このように、方程式の解の入れ替えに注目することで、方程式が解ける理由を説明した。ガロアは、これからさらに進んで、その理由が、S2やS3という対称群の性質によるものであることを明らかにした。そもそも、入れ替えの対称性をまとめて、「群」というものを考えたのはガロアが最初だった。 https://www.gentosha.jp/article/2311/?page=2 数学の言葉で世界を見たら 幻冬舎 2014.07.27 更新 ツイート 第18回(最終回)その2 5 次方程式と正20面体 3次方程式が立方根と平方根で解けた理由はそこにあった。 しかし、正20面体群はそれ以上分解できず、しかもその中では掛け算の順序を入れ替えることができない。そのために、5次方程式のときには、5つの解を足したり引いたりする操作とべき乗を取る操作を繰り返すだけでは、S5で不変な組み合わせにすることはできない。5つの解が、方程式の係数のべき根で表されているのなら、それらを足したり引いたりべき乗を取ったりすれば、方程式の係数に戻せるはずだ。それができないということは、べき根だけで解の公式が書けないということになる。5次方程式は、べき根だけでは解けないことがわかった。 >>48 追加 英文だと下記みたいなのがヒット ”dislocation”は、転位という訳語があります https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_defect Topological defect Examples Topological defects occur in partial differential equations and are believed[according to whom?] to drive[how?] phase transitions in condensed matter physics. Solitary wave PDEs Examples include the soliton or solitary wave which occurs in exactly solvable models, such as ・screw dislocations in crystalline materials, ・skyrmion in quantum field theory, and ・topological defects[clarification needed] of the Wess–Zumino–Witten model. Lambda transitions Main article: Lambda transition Topological defects in lambda transition universality class[clarification needed] systems including: screw/edge-dislocations in liquid crystals, https://en.wikipedia.org/wiki/Riemannian_geometry Riemannian geometry Introduction There exists a close analogy of differential geometry with the mathematical structure of defects in regular crystals. Dislocations and disclinations produce torsions and curvature.[1][2] >>47 現代数学の抽象化は、ガロア理論の群論から発しているのです(^^ そして、数学のみならず物理などにも大きな影響を与えたのです(下記) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2 エヴァリスト・ガロア 数学的業績 数学者として10代のうちにガロア理論の構成要素である体論や群論の先見的な研究を行った。 群論は数学の分野において重要であるだけでなく、数学以外、例えば物理学では相対性理論や量子力学などを厳密に(形式的に)記述するツールとして用いられる。また、計算機科学、特に理論計算機科学においてガロア体、特に位数2のガロア体 F2 は最も多用される数学的ツールのひとつである。 このように代数学で重要な役割を果たすガロア理論は、現代数学の扉を開くとともに、20世紀、21世紀科学のあらゆる分野に絶大な影響を与えている。しかし、ガロアの業績の真実と重要性、先見性は当時世界最高の研究機関であったパリ科学アカデミーを初め、カール・ガウスやオーギュスタン・コーシー、カール・ヤコビと言った歴史に名を残した同時代の大数学者達にさえ理解されず、生前に評価されることはなかった[1]。群論の基礎概念とも言える集合論がゲオルク・カントールによって提唱され、ガロア理論へと通じる数学領域が構築されるのでさえ、ガロアによるガロア理論構築の50年も後のことである。 https://hiroyukikojima. はてなブログcom/entry/20110404/1301921889 hiroyukikojima’s blog 2011-04-04 思想としてのガロア理論 自分も寄稿している雑誌『現代思想』青土社」の4月号、特集「ガロアの思考〜若き数学者の革命」が届いた。 現代思想2011年4月号 特集=ガロアの思考 若き数学者の革命 作者: 上野 健爾,吉田 輝義,砂田 利一,黒川 信重,小島 寛之,竹内 薫 出版社/メーカー: 青土社 発売日: 2011/03/28 つづく >>53 つづき 今回は、どの記事も面白かったのだけれど、とりわけ、サイエンスライター・竹内薫さんの「ガロアは現代物理学の源流だ!」に感銘を受けた。なんといっても、その面白くて読みやすい文体がスゴイ。さすがプロ。ガロアと物理学を語っているのにスルスルと読めてしまう。こういう芸当はまねできない。亡き森毅さん(合掌…)を彷彿とさせる達筆ぶりである。とりわけ、上記のぼくの本を紹介してくださったうえ、次のように書いてくれたのは、胸がすく思いだった。 竹内薫さんの文書で、他に気に入ったものを引用するとすれば、たとえば以下のものなんかだ。 超ひも理論を勉強すると、不思議な感覚に襲われる。従来は、素粒子という、確固たる実在があって、それを群論で分類するようなイメージが強かった。ところが、超ひも理論となると、まるで、「初めに対称性ありき」という感じなのだ。最初に「群」があって、その対称性に合うような超ひもだけが存在できる。なんだか、対称性と物理的実在の関係が逆転しているかのような印象を受けてしまう。 こういうところが、さすが、プロの文筆家。『現代思想』という雑誌の潜在的要求をちゃんとクリアしている。カッコいいっす。 数学系の人々の論説も、それぞれに面白い。上野健爾さんは、ガロアの人生をまとめながら、じわじわと専門である代数幾何の発展に読者を導いている。そして、ガロアから始まる現代代数学の潮流について、次のように述べている。 方程式が与えられればそのガロア群は決まる。しかし、具体的に方程式を与えたときに、そのガロア群を計算することは一般には決して簡単ではない。簡単には計算できないにもかかわらず、ガロア群を定義することができることはよく考えると奇妙なことである。(中略)。しかし、それは現代数学に一般的な特徴である。(中略)。具体的な計算ができる例はわずかしかなくても、矛盾なく定義できることが分かることが重要なのである。 これまた、「思想」だよね。それから、黒川信重さんは、例のごとく(笑い)、ご自身の先端理論「絶対数学」を熱く語り、その中で、「絶対ガロア理論」というものを打ち出しておられる。いつもながら楽しい。」 (引用終り) 以上 >>45 >ああ、いまなら東大理IIIかもな 雑談君は医者になりたいようだから、 今から勉強してどこでもいいから医学部に入ったほうがいいね。 それなら数学板じゃなく医歯薬看護板で情報収集したら? mao.5ch.net/doctor/ >>49 >ゆるきゃらのとりちうむかわいい😢。 ゆるキャラに騙されたらあかんよ >>53 >ガロア理論の群論 その言い方で、雑談君はガロア理論も群論も 全くわかってないと露見しちゃったな 実際、T工大の「物理数学特論」では まったくガロア理論は入ってない あ、雑談君は全然理解してないから ガロア理論が入ってないことすら 分からないのかw 第1回 群論 群の定義とその例について理解する 第2回 巡回群, 群準同型定理 巡回群, 群準同型定理について学ぶ 第3回 既約剰余類群 既約剰余類群について学ぶ >>53-54 >『現代思想』 この雑誌って、専門書を真面目に読む気力もないのに 利口ぶりたがる似非賢者が買う典型的な雑誌だよな とはいえ、「巨大数の世界」特集のときは フィッシュ氏と小林銅蟲氏の記事が読みたくて ついつい買っちゃったけどさw ちなみにA.カナモリの「巨大基数の集合論」は わたしも持ってます・・・読めてないけど(をひ) >>48 >固体の欠陥の応力を多様体として扱う考え >読んだけど、むずかった記憶ある 陰関数定理も逆関数定理も理解できない(だろう)雑談君には到底無理 外積も知らん雑談君には微分形式とか何が何やらチンプンカンプンでしょ ま、勉強嫌いで思考力ゼロの雑談君には数学は到底無理だから 一刻も早く数学板から立ち去ってアタマ使わなくても書ける板で 大暴れしたほうがいいね 乃木坂板とか、どう?w
>>51 理学部数学科の教員になる人の出身学科は、統計的にはいうまでもなく(多くの場合教育学部ではなく理学部の)数学科が一番多い。 工学部出身で理学部数学科の教員になる人は、千葉の他にも複数いるが比較的少ない。 このように、理学部数学科の教員になる人について、 大学の学部時代に(多くの場合教育学部ではなく理学部の)数学科に所属していたか工学部に所属していたかで、 理学部数学科の教員になるにあたり有利かどうかという面でハンディキャップが既に生じている。 このように、理学部数学科の教員になる人の出身学部や出身学科を統計的に考えればすぐ分かること。 ID が変わっているけど、私は>>38 の ID:MMq5Pqhl な。 >>53 >現代数学の抽象化は、ガロア理論の群論から発しているのです(^^ >そして、数学のみならず物理などにも大きな影響を与えたのです(下記) 山上 敦士先生も同じことを書いていますね(下記)(^^ https://www.kyoto-su.ac.jp/project/st/st08_01.html 京都産業大学 ガロアが広げた数学の自由 ?革命を志した青年が起こした数学上の一大革命? 理学部 数理科学科 山上 敦士准教授 ガロアは二月革命によって樹立する第二共和制(1848年成立)を見ることなく、わずか20歳で若い命を失いました。しかしながら、彼は数学の世界では大革命ともいえる業績を残したのです。ガロアが残した成果の一端について山上先生にご紹介いただきました。 16世紀以降の代数を研究する数学者にとって、5次以上の方程式を解く公式の発見は大きな関心事となっていました。4次までの方程式には解の公式があるわけですから、5次以上の方程式にも解の公式があるに違いない、と多くの数学者は考えていました。 この問題に結論が出たのは、19世紀に入ってからのことです。フランスの数学者エヴァリスト・ガロアが提案した理論によって、新たな展開がもたらされました。ガロアは5次以上の方程式に解の公式がないことをより洗練されたかたちで証明し、どんな場合に方程式が解を持つのかを示しました。※2 ※2 5次以上の方程式が一般に解の公式を持たないことを最初に証明したのは、ガロアと同時代のノルウェーの数学者、ニールス・アーベル(Niels Abel、1802-1829) 不遇の天才ガロア ガロアは若くして亡くなった数学者でした。恵まれた数学的才能とは裏腹に、教師たちはガロアを高く評価しませんでした。17歳のときに書いた素数次方程式の解き方についての論文はフランス学士院に提出はしたものの審査官に紛失されてしまい、希望していたエコール・ポリテクニークへの入学試験にも2度失敗します。1831年に記した論文(後の「ガロア理論」)は、当時の一流の数学者たちにとっても難しい内容だったため、数学の歴史を変えるほどの価値があるにも関わらず、書き直しを求められています。このように、ガロアは正当な評価を得ることがないまま、翌32年に決闘によって命を失ってしまったのです。※3 つづく >>64 つづき もちろん、現在ではガロアの業績は正しく評価されています。短い人生の間に綴ったいくつかの論文の中に、現代数学にとってたいへん重要な成果が詰まっていました。中でも最大の業績は「群論」の導入です。群論はその後の科学の発展になくてはならない理論で、相対性理論や量子力学にも必要不可欠なものでした。 ※3 決闘の原因については「ある男性と一人の女性の奪い合いになったため」とも「政治活動を巡る陰謀」とも言われている。 群の性質から方程式の性質が分かる ガロアが注目したのは、方程式の解を互いに置き換える操作(置換)を群※4として考え、この置換群(後のガロア群)の性質を調べることで方程式が係数の四則演算とべき根だけで解けるかどうかを判定できるのではないか、ということでした。 群の導入により、数学は解そのものではなく、「解の置き換え」のような操作をも扱えるようになりました。この新しい考え方によって数学の世界はより自由になり、大きく広がったのです。 時代を超越する数学 話をガロアに戻しましょう。ガロアの理論は彼の死後、数学や物理学の世界でその重要性を高めていき、ついには近年の数学史上の一大事件である「フェルマーの最終定理の証明」を解くためのカギとなりました。 フェルマーの最終定理とは、Xn+Yn=Znという式において、X、Y、Zが0以外の整数のとき、n≧3(nは自然数)では解が存在しない、という定理です。この定理の証明は「X、Y、Zに解が存在すれば矛盾する」ことを示す方法で行われました。解X=a、Y=b、Z=cを仮定し、a、b、cを用いて作られる楕円曲線に付随するガロア表現を深く考察することで、矛盾が導かれることが証明されたのです。 この問題をフェルマーが書き記したのが1637年頃。ガロアの没年は1832年。そしてイギリスの数学者アンドリュー・ワイルズ(AndrewWiles、1953-)により証明がなされたのは1995年。300年以上もの年月を超えて、数学の天才たちが協力し合った結果、人類は新たな証明を手に入れました。偉大な数学の成果は容易に時代を超えるのです。 (引用終り) 以上 >>58 >>『現代思想』 >この雑誌って、専門書を真面目に読む気力もないのに >利口ぶりたがる似非賢者が買う典型的な雑誌だよな あらら、モンキーおサルが減らず口を叩くかw(^^ "現代思想2011年4月号 特集=ガロアの思考 若き数学者の革命 作者: 上野 健爾,吉田 輝義,砂田 利一,黒川 信重,小島 寛之,竹内 薫" これと、お前のくそブログ( >>19-20 ) とを比べてみろw(^^ 雲泥の差、月とすっぽんだぜよww(^^; >>31 (引用開始) まず、その体の上で考えるかを最初に決めなければ、その代数方程式のガロア群は もとより、既約性も定まらない。通常は、体は標数が0であるものを考えることに して、その方程式の係数から作られる体K(標数0の最小の体である有理数体Qに 方程式の係数をすべて添加して拡大した体)の上で議論する。 (引用終り) なるほど 確かに、当たり前だけど プロほど、こういう基本的なところを しっかり押さえておくものだろうかね(^^ アホさるは、 素人丸出しかね ひょっとして これ書いたの おっちゃんかい?(^^ >>64-65 もうガロア理論は忘れような 雑談君には全く理解不能だから >>66 あの記事は、数学のセンスが全くない雑談君のような素人に 数学をキレイさっぱり諦めさせるためだけに書いた文章だからね 中身には全く踏み込まない だって君には全く理解できないだろ? 10年掛かってもガロア理論、何一つ理解できなかったんだろ?もう諦めな 数学科の学生ならもう大学院までいって博士論文書いて学位とってるから >>67 さすが中身のない人は中身のない文章に簡単にたぶらかされるね ところで>>35 の問題の答えはわかったかい? 全然できないだろ? それが君の実力だろ 君には代数なんか無理 諦めなって ガロアにご執心の素人を●す方法 1.代数方程式の複素数解が存在する定理(代数学の基本定理)を示す それすら知らない無知蒙昧な人はザラにいる 2.ベキ根以外の関数を使えば解けることを示す 単に代数方程式が解けないことにイラついてるだけの中二はこれで確実に●ぬ 3.数値解法ならいくらでもあることを示す というか工学部でそれ知らないってモグリだろ 職場の元同期(今は転職して別の会社にいる)は 学部時代、代数方程式の数値解法の研究やってたっていってたぞ (ちなみに理科大の工学部)
雑談君は「任意の角の三等分は不可能」といわれると わけもわからずムカついて「じゃ、俺が解いて見せる!」 とかいって●●●●解法をドヤ顔で披露するタイプだろうな (できないといいたがらない中二病) ちなみに実用的見地からいえば、角の二等分が可能なら これを反復適用することで、いくらでも正確に角の三等分を近似できる 1/3=1/4+1/16+1/64+・・・ もう、目で見ても分からないくらい細かい角度までいけば 世間的には1/3といってしまってもいいし、別にそれで困らない 円周率が3.14だといっちゃうのと同じ (もちろん、数学的には円周率は”3.14”ではないが 一方、円周と直径を実測して比を求めた場合、 はっきりいって、3.14なんてところまで ”正確”な値はまず出ない)
>>64 追加 https://edo.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main& ;active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=75&item_no=1&page_id=13&block_id=21 https://core.ac.uk/download/pdf/234043471.pdf 〔論 文〕江戸川大学学術リポジトリ 江戸川大学の情報教育と環境Informatio Vol.8 2011 システムと対称性 江戸川大学 メディアコミュニケーション学部 情報文化学科 石 田 義 明 2. ガロア群 (3) 5 次方程式の代数解が存在しないと主張したの はルッフィーニが最初であった。証明できたと主 張したが結局認められなかった。しかし解が存在 しないという主張は極めて斬新で、その後に大き な影響をもたらした。最初に代数解がないことを 証明したのはアーベルであった。その後のガロア による証明は代数学にパラダイムシフトを起こす ものであり、現代数学や現代物理学になくてはな らないものになった。そこではいわゆる群論とい う新しい概念を使って、解の対称性を通して代数 解の存在を論じた。 5 次方程式が代数解を持たないことを証明 した。ガロアはこの証明の段階で群論を開発しガ ロア群を作って証明をした。ここでは実際に解を 求めることはせず、解の対称性から証明してしま ったことは、この後に大きな影響をもたらすこと になる。対称性のみから、いろいろな興味ある結 果がえられることを述べたい。 3. 変分原理と対称性:ネーターの定理(4) 対称性からいろいろな物理法則が導けること を示したい。有名な定理に「ネーターの定理」と いうのがある。それは 「系が対称性を持つと保存量が存在する。」 つづく >>71 つづき 4. 物理学における対称性と群論 4.1 結晶構造:空間群(結晶点群+並進操作) 4.2 素粒子論:ゲージ対称性 (不変性) ガロアは代数方程式の解の対称性に群論を用 いて、5 次方程式の代数解の非存在を証明したが、 それは有限群であった。ニュートン以来、多くの 場合、物理現象は微分方程式で表現されている。 リーはガ微分方程式でも連続群の対称群が存在し ないか考察し、リー群を考えだした。その後キリ ングとカルタンによって単純リー群の全ての対称 性をリストアップし整理され、素粒子の統一理論 で重要な役割を演じることになる。それは最先端 の超ひも理論でも使われている。 5. まとめ 数学と物理の関係はどうなっているのであろ うか。物理現象を解析するために、微分方程式を 作ってその解を求めるといった場合、数学は現象 を分析するための手段であり、数学は物理に従属 する感があるが、」その逆の場合もしばしばある。 また抽象数学では研究者も自然科学に使われるか どうかという価値観で研究しているわけではない。 それにもかかわらず、最先端物理学では従来全く 関係ないと思われた抽象数学が取り込まれ、新し い物理概念が次々に創造されていくのが現状であ る。 現在統一理論で最 先端を走っているウィッテンはフィールズ賞をと った数学者であるが、超ひも理論の発展の牽引を している。現在は物理学者が数学を利用して研究 するというイメージではなく、純粋数学に深い洞 察力を持った者が物理を研究するという様相を呈 していて、物理と数学が複雑に入り組んだ状況を 理解できないと先に進めない世界である。 (引用終り) 以上 >>61 中身読んだけど、それは時間的には比較的現在に近い年度に日本語で書かれた論説であって論文ではない。 有限次元の力学系を一般化して無限次元のバナッハ空間内で 系統的に考え易い或る種の常微分方程式系を使って考えているようだ。 詳しいことはその論説を書いた千葉本人に聞いた方がいい。 >>63 >>73 は他人のことばかり気にする君へのレス。 群論に興味を持つ理由は大いに分かるが、(代数方程式の)ガロア理論なんかに興味を持つ理由が全く分からん。 >>71 追加 ”「量子ガロア群」パラグループ理論:ここで作用素環でガロア理論の類似を考えてみましょう” だってさw(^^ http://www.st.sophia.ac.jp/scitech/old/scitech/no11/no11p1702.html 上智大学 理工学振興会会報 ソフィア サイテック No.11 2000年4月発行 ただいま研究中 数学科 作用素環論における量子ガロア群 助手 後藤 聡史 対称性を記述する「群」 幾何学的な図形や空間などの対称性を記述するものに群とよばれる代数系があるのをご存知でしょう。歴史的には群の概念は5次以上の方程式に解の公式がないことを証明するためにガロアがはじめて導入したといわれています。ガロアの理論を現代的な言葉でいえば、2つの「体」と呼ばれる代数系の包含関係K⊂Lの対称性を「ガロア群」とよばれる群が記述しているということができるでしょう。 「量子ガロア群」パラグループ理論 ここで作用素環でガロア理論の類似を考えてみましょう。2つの作用素環の包含関係N⊂Mを考え、その相対的なサイズの比として指数を定義します。これがジョーンズが1983年に始めた部分因子環の指数理論です。彼は1985年には彼の理論と結び目の理論との予想外の関係を発見し、その後のトポロジーの爆発的な発展に大きな貢献をしました。ジョーンズの指数理論に対し、オクニアーヌは1987年に部分因子環の組み合わせ論的な構造が群と似ていることから、群のある種の量子化として、量子ガロア群ともいえる「パラグループ」の概念を導入しました。 パラグループ理論と様々な他分野とのつながリ 群の量子化というと「量子群」の方がはるかに知名度か高いでしょう。「量子群」は統計物理の格子モデルの可解性を記述するものとして同じころに導入された概念です。現在では、パラグループ理論は量子群だけでなく、可解格子模型、位相的場の理論、共形場理論など様々な数学、数理物理学の理論と密接に関係していることがわかってきています。パラグループ理論とこれらの様々な他分野との結びつきをより深く調べ、互いに刺激しあってより豊かな理論を育てていこうというのか私の研究目標です。 (引用終り) 以上 >>71 ま〜た、雑談君は 「ネットで拾ってきた●●●●文書」 をドヤ顔でコピペしてるのかい? 無闇にヘンなもの読むと、アタマ壊すよ >解が存在しない ガウスがきいたら、呆れるだろうな いかなる次数でも、必ず、複素数解は存在しますからぁ〜 次数が奇数なら、必ず、実数解が存在しますからぁ〜 ザンネ〜ン!!! >代数解がない 「代数解」とかいうオレ様用語を捏造されても困るなあ 正しくは「(有限回の)四則演算とベキ根だけでは解が表せない」 ベキ根で表せなくても、複素数解は存在する!わかるかな? >>72 >数学と物理の関係はどうなっているのであろうか。 >現在は物理学者が数学を利用して研究するというイメージではなく、 >純粋数学に深い洞察力を持った者が物理を研究する >という様相を呈していて、 >物理と数学が複雑に入り組んだ状況を理解できないと >先に進めない世界である。 その数学原理主義的な態度、 物理学界で思いっきり批判されてるの、 知らないの? 数学に魅せられて、科学を見失う 物理学と「美しさ」の罠 LOST IN MATH How Beauty Leads Physics Astray www.msz.co.jp/book/detail/08981/ 物理学の基盤的領域では30年以上も、既存の理論を超えようとして失敗し続けてきたと著者は言う。 実験で検証されないまま理論が乱立する時代が、すでに長きに渡っている。 それら理論の正当性の拠り所とされてきたのは、数学的な「美しさ」や「自然さ」だが、 なぜ多くの物理学者がこうした基準を信奉するのか? 革新的な理論の美が、前世紀に成功をもたらした美の延長上にあると考える根拠はどこにあるのか? そして、超対称性、余剰次元の物理、暗黒物質の粒子、多宇宙……等々も、その信念がはらむ錯覚の産物だとしたら? 研究者たち自身の語りを通じて浮かび上がるのは、究極のフロンティアに進撃を続けるイメージとは異なり、 空振り続きの実験結果に戸惑い、理論の足場の不確かさと苦闘する物理学の姿である。 「誰もバラ色の人生なんて約束しませんでしたよ。これはリスクのある仕事なのです」(ニマ・アルカニ=ハメド)、 「気がかりになりはじめましたよ、確かに。たやすいことだろうなんて思ったことは一度もありませんが」(フランク・ウィルチェック) 著者の提案する処方箋は、前提となっている部分を見つめ直すこと、あくまで観測事実に導かれること、 それに、狭く閉じた産業の体になりつつあるこの分野の風通しをよくすることだ。 しかし、争点はいまだその手前にある。 物理学は「数学の美しさのなかで道を見失って」いるのだろうか?本書が探針を投じる。 −−− ていうかさ、物理やりたいなら物理板行けよ 雑談ク〜ン >>75 >”「量子ガロア群」パラグループ理論:ここで作用素環でガロア理論の類似を考えてみましょう” これ、下記の”ガロア接続”、英語では”Galois connection” 接続というより、ガロア関係とでもいうべきか ガロア理論を、広く”ガロア接続”(Galois connection)という視点で捉えると、そういう例は沢山あるってことだね 方程式の解法に限られないってこと。ここ大事だ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E6%8E%A5%E7%B6%9A ガロア接続 ガロア接続(ガロアせつぞく、英: Galois connection)とは、(典型的には)2つの半順序集合(poset)の間の特定の対応付けを言う[1]。ガロア接続は、ガロア理論で調べられた部分群と部分体の間の対応を一般化したものであり、様々な数学理論に応用が存在する。名称はフランスの数学者エヴァリスト・ガロアに因む。 https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_connection Galois connection In mathematics, especially in order theory, a Galois connection is a particular correspondence (typically) between two partially ordered sets (posets). The same notion can also be defined on preordered sets or classes; this article presents the common case of posets. Galois connections generalize the correspondence between subgroups and subfields investigated in Galois theory (named after the French mathematician Evariste Galois). They find applications in various mathematical theories. Contents 1 Definitions 1.1 (Monotone) Galois connection 1.2 Antitone Galois connection 2 Examples 2.1 Monotone Galois connections 2.1.2 Lattices 2.1.3 Transitive group actions 2.1.4 Image and inverse image 2.1.6 Syntax and semantics 2.2 Antitone Galois connections 2.2.1 Galois theory 2.2.2 Algebraic topology: covering spaces 2.2.4 Algebraic geometry 4 Closure operators and Galois connections 5 Existence and uniqueness of Galois connections 6 Galois connections as morphisms 7 Connection to category theory 8 Applications in the theory of programming 「量子群」・・・それは・・・群ではない ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E7%BE%A4 (続く・・・かもしれないw)
>>78 ガロア対応は群論とは無関係に存在する 形式概念分析 en.wikipedia.org/wiki/Formal_concept_analysis これ自体は全然難しい話じゃない >>76 >「ネットで拾ってきた●●●●文書」 >をドヤ顔でコピペしてるのかい? 「本物を知ると、偽物が分かる」という言葉がある(下記) 本物を見せて、偽物(おサルのくそブログ( >>19-20 ))と対比しようという魂胆ですよwww(^^; (参考) https://ibaya. はてなブログ/entry/2019/12/10/085816 いばや通信 2019-12-10 本物を知ると、偽物が分かる。 今日は京都に行く。私の悪い癖だが、誰かと会った時に「本物か、偽物か」で見る。子供は、大概本物だ。大人になると、濁る。瞳から濁る。 雑談君へ ・物理やりたいんなら、数学ではなく物理を勉強しよう ・数学としてスゴくても、即、物理で役にたつとはいえません ・ガロア―!とかグロタンディクー!とかわめいても物理はわかりません ・群!とか圏!とかわめいても物理はわかりません さっさと数学板から立ち去って物理板にいけよ シッシッ!!!
>>81 「5次以上の代数方程式の解は存在しない!!!」 とほざくFラン大学の数学者でもなんでもないセンセイの ●●●●文書を「本物!!!」と言い切る雑談君は 正真正銘のマガイモン ざんね~んwww >>78 本文読むと、>>80 で書いた形式概念分析について紹介されてるね 読んだ?コピペしただけで安心しきって、読んでないでしょw Connections on power sets arising from binary relations Suppose X and Y are arbitrary sets and a binary relation R over X and Y is given. For any subset M of X, we define F(M) = {y ∈ Y | mRy ∀m ∈ M}. Similarly, for any subset N of Y, define G(N) = {x ∈ X | xRn ∀n ∈ N}. Then F and G yield an antitone Galois connection between the power sets of X and Y, both ordered by inclusion ⊆. Up to isomorphism all antitone Galois connections between power sets arise in this way. This follows from the "Basic Theorem on Concept Lattices". Theory and applications of Galois connections arising from binary relations are studied in formal concept analysis. That field uses Galois connections for mathematical data analysis. 二項関係から生じる冪集合の接続 X、Yを任意の集合とし、X、Y上の二項関係Rが与えられたとする。Xの任意の部分集合Mに対して、F(M)={y∈Y|mRy ∀m∈M}を定義する。同様に、Yの任意の部分集合Nに対して、G(N)={x∈X|xRn ∀n ∈N}と定義する。そうすると、FとGは、XとYの冪集合の間に、包含⊆で順序付けられたアンチトーンのガロア接続をもたらす。 同型化までは、冪集合間のすべてのアンチトーン・ガロア接続はこのようにして生じる。これは、「概念格子に関する基本定理」から導かれる。 二項関係から生じるガロア接続の理論と応用は、形式概念分析で研究されています。この分野では、ガロア接続を数学的なデータ解析に利用します。 >>84 「概念格子」は正しくは「概念束」ね latticeは、日本語では束と名付けられてるから (注:束といっても、bundleとは異なる) >>73 業績は分からないけど教授だから千葉は偉い、ということだろ >>74 関係ない >>73 分かってないなw >有限次元の力学系を一般化して無限次元のバナッハ空間内で >系統的に考え易い或る種の常微分方程式系を使って考えているようだ。 >>74 >(代数方程式の)ガロア理論なんかに興味を持つ理由が全く分からん。 これは雑談君のみへの言葉でしょうな ま、オリンピックがー、ノーベル(物理学)賞がー、理Vがー、と 他人にマウントできそうなアサハカなことしか口にしない時点で 雑談君は精神的に包●なんでしょう >>84 ご苦労さん ま、下記でも。いまどきAI時代だから、重要かもね(^^; https://www.jstage.jst.go.jp/article/jsoft/19/2/19_103/_pdf 知能と情報(日本知能情報ファジィ学会誌)Vol.19,No.2,pp.103-142 (2007) 解説 形式概念分析 -入門・支援ソフ酢・応用 鈴木治*1 .室伏俊明*2 1 .形式概念分析(FormalConcept Analysis)入門 1.1形式概念分析の概要 形式概念分析の概要と研究経緯【5][19][24][14][39] 束論(Lattice'IY,eory)は, 1938年9月のChallohesville 会議,AMS SYMPOSIUM ON LATTICE THEORYに おけるGarrett Birkhoffの講演"Lattices and their application に端を発する.一方,形式概念分析は, 1981年のBanff会議"Ordered Set”における Darmstadt University of TechnologyのRudolf Wille教 授の論文”Restructuring Lattice Theory: AnApproach Based On Hierarchies Of Concept がその始まりである.Wille教授は「科学は実社会における応用 にこそ価値がある」との信念を持ち,束論の原点に立 ち返りながらその新しい応用可能性を探った. その結 果, この論文において,束論をデータ分析(data analysis) 手法の一つとして蘇らせた. また同教授は,束論を 「抽象化の道具」から「思考や行動に役立つ道具」として 再構築("Restructuring")しようと試み,概念構造に 数学的表現を与えることによって,論理思考の合理的 コミュニケーション手段としての形式概念分析を考案 した.形式概念分析の提唱以後,最初の約10年間は Darmstadt大学を中心とした研究が進められたが, そ の後の約10年間は,Ministry for Civil Engineering of North-Rhine Westfaliaプロジェクト(2000年,ドイツ) での応用研究や諸外国における広範な分野での研究も 行われ,今や形式概念分析は,国際的な応用研究の広 がりを見せるに至っている.形式概念分析の主な研究 先進国は,ドイツ,フランス,東ヨーロッパ,イギリス,カ ナダなどであるが,我が国におけるこれまでの論文数 はこれらの国々に比べ非常に少ないのが実状である. つづく >>90 つづき 形式概念分析の概要と用語定義[12][23][26][39] 形式概念分析はデータ分析手法の一つであり,数学 的基礎に基づく概念構造の分析がその特徴である.概 念分析は,哲学や心理学でも使用されるが,形式概念 分析のそれとは基本的に異なる.哲学等で用いられる r概念」は,人間が考える広範囲かつ暖昧な思考の単位 であるが,形式概念分析のそれは,数学的に定義され たデータとして扱われる.形式概念分析は,概念デー タを思考単位として,概念構造の明確化や事象の分 析,データ可視化及びデータ依存関係などを明らかに するものである. (引用終り) 以上 形式概念分析は、無限出てこないから 無限が理解できない雑談君でもダイジョウブ よかったなwww
>>81 補足 >「本物を知ると、偽物が分かる」という言葉がある(下記) >本物を見せて、偽物(おサルのくそブログ( >>19-20 ))と対比しようという魂胆ですよwww(^^; まあ、おサルが 「おれは分かっている。お前は分かってない」というから 「お前は分かってない」は当たっているとしても 「おれは分かっている」の部分がね、疑問だよね こんな、”くそブログ( >>19-20 )”書いてさ なにが「おれは分かっている」ってんだぁ〜?! ってことですw(^^ おサルもほとんどガロアが分かってないじゃん! 上から目線で物言えるレベルか? アホじゃん!! ってことですよww(^^; と、正規部分群すら分かってないのにガロア理論を語る阿呆が申しております
>>86-87 >>89 >業績は分からないけど教授だから千葉は偉い、ということだろ 大学入試の合格時に背負ったハンディをその後の努力で乗り越えることは決して簡単ではない。 ま、無限次元の力学系を扱える放物型発展方程式に関することだと思えばいい。 有限次元の力学系に詳しい千葉は、反応拡散方程式やそれを一般化した放物型発展方程式を扱えても何らおかしくない。 >>86-87 >>89 >業績は分からないけど教授だから千葉は偉い、ということだろ 大学入試の合格時に背負ったハンディをその後の努力で乗り越えることは決して簡単ではない。 ま、無限次元の力学系を扱える放物型発展方程式に関することだと思えばいい。 有限次元の力学系に詳しい千葉は、反応拡散方程式やそれを一般化した放物型発展方程式を扱えても何らおかしくない。 >>93 >「おれは分かっている。」 とはいってないよ 幻聴?w まあ、強いて言えば 「ボクは自分が分かってないことを分かってるけど キミは自分が何を分かってないかも分かってないよね」 というところかwww 無限については何の反論もないが、 間違いを認めたってことね? ま・け・た、ってことねwww 死・ん・だ、ってことねwww おっちゃんも、雑談君同様、方程式を解くことだけが数学だ、と思ってる●●だな
>>97 なんでおれが、バカおサルの相手をwww(^^ おサルと無限論争だぁ?? おまえみたいなバカ相手してくれるのは、哀れな素人氏くらいだよw 隔離スレに帰って、相手してもらえwww(^^; >>100 論争? 京大にも受からず二番手の阪大 しかも理学部じゃなく工学部の ”ブルーカラー”と?(煽りまくりw) ありえませんな 物理板でも材料物性板でもいいから他所行ってください >>97 >>「おれは分かっている。」 >とはいってないよ 確かに そりゃ、そうだわなww あのレベルで、「分かっている」なんて、言えるわけないぜよ!ww(^^; >まあ、強いて言えば >「ボクは自分が分かってないことを分かってるけど じゃ、ガロアについて 講釈たれるのを やめたらどうだ??www(^^ >>101 >論争? >京大にも受からず二番手の阪大 >しかも理学部じゃなく工学部の >”ブルーカラー”と?(煽りまくりw) >ありえませんな あらら えらく大口たたくね(^^ じゃ、哀れな素人スレでやっているのは、なんだ? 痴話ケンカかw 何年も飽きずにさww それだけで、あんたの頭のレベルが分かるってもんだろ?www(^^; >>99 >おっちゃんも、雑談君同様、方程式を解くことだけが数学 は? 私は「方程式を解くことだけが数学」などというバカげた考え方はしていないし、そんなことを書いてはいない。 板の様子からすると、君は粋蕎でも何ら不思議ではない。 >>102 >じゃ、ガロアについて講釈たれるのをやめたらどうだ?? その言葉、そっくりそのまま大販民国人の雑談君にお返しするよ アンニョンハセヨw >>103 >えらく大口たたくね 無限に関して初歩的誤りを連発する パクチー君と同じ毛深いニホンザル と思われるのは迷惑なのでねw mara.hatenablog.jp/entry/2021/04/18/155712 >>104 >君は粋蕎でも何ら不思議ではない。 キミは雑談君でも何らフシギではないwwwwwww >>107 私(=>>104 )の ID がまた変わっている可能性がなきにしも非ずだが、 反応拡散方程式の解の存在性の問題は比較的に容易な問題というだけの話。 君は自称早大出身のようだが、早大出身で(代数的)ガロア理論の話を頻繁に取り上げる人は、知る限りでは少ない。 経験上は、早大出身といったら、多くはむしろ解析の人が多い。 >>100 まるで自分より哀れな素人が下であるような物言いだね。 彼は阿呆だが例示であることはきちんと読み取れたよ。 自惚れてるんじゃないの? >>108 私の知り合いは数学科で整数論専攻してましたよ 研究室は足立恒雄さんのところでした 足立さんは大学三年の代数学で ガロア理論の講義もやってましたよ つーか、理科大ではガロア理論教えないんか? そんなことないだろ? 応用数学科はともかく数学科なら教えるだろ
僕の友達は名古屋大学の数学科多元数理学科のそうせつした男の子(おじさん)。
>>100 無限をまったく分かってない君とは「論争」になり様が無い 「教育」の間違いじゃないか? >>112 この発言で全大学のブラックリストに入ったな。 無限の対応数 アレフN R 剥離 ケーニヒスベルグの橋 グラフ理論 群論 は難しい。 第一次表現(仮) a*b=±Δd⇒!=s(時間の今) ここで*を衝突係数の表現と置く。 あとは正しく変換してくれ。 !=とは’’表現が正しい’’と読む。 aとbは次元。 クリストファーノーランのインターステラーのブラックホールの中だと思って欲しい。
よく見るとax+b=yの表現でしょう しかも=0を組み込んでいる。
>>97 (引用開始) >「おれは分かっている。」 とはいってないよ 幻聴?w まあ、強いて言えば 「ボクは自分が分かってないことを分かってるけど キミは自分が何を分かってないかも分かってないよね」 というところかwww (引用終り) サイコパスおサル(>>2 ご参照)よ おサルは、気付いていないみたいだが これ(=「ボクは自分が分かってないことを分かってるけど」)って、大失言じゃね?w(^^; (理由) 1.おサルのくそブログ(>>19 )に、”10年もの間、 5ch数学板でガロアと名の付くスレッドを立て続けたが 結局ガロア理論の基本定理も理解できなかった”と書いてあるが この陳述が正しいかどうか? おサルが自分自身を、「ボクは自分が分かってないことを分かってるけど」って失言したら 他人を評して、”理解できなかった”って判断の正確性に疑問符がつくぜよww(^^; 2.さらに、おサルは数学科出身で、50過ぎのおっさんだろ? 数学科のとき、21歳くらいでガロア理論を学んだとして、それから30年経つ計算だ おサルは、数学科でガロア理論を学び、30年経って「ボクは自分が分かってないことを分かってるけど」と自白するとは これはこれは、大失言じゃね??www(^^; まあ、本心は真逆で、心の中では「天狗のハナタカ」でしょ?w(^^ 本当は「ボクちゃんはガロア理論を良く分かっているつもりだが、ツッコミが怖いから隠しておこう・・」じゃね? そうだろう? 早く、本心を白状しなよ!www(^^ あめりかじんって全員死ねばいいのにな。くさいから。
>>122 君は日本語も分からない白痴かい? 数学もダメ、日本語もダメ ほんとうに大学出てるの? >>122 雑談君 なんでガロア理論にこだわるのかわからんけど 10年かかって全く理解できなかったんでしょ? 不勉強なキミには決して理解できないから 諦めな 雑談君は exp(ix)=cos(x)+sin(x)*i で感動してなさい それがキミにも理解できる数学の最高到達点だから
>>122 補足 ・おサルは数学科出身で、50過ぎのおっさんだ ・数学科のとき、21歳くらいでガロア理論を学んだとして、それから30年経つ計算 ・それで、数学科でガロア理論を学び、30年経って「ボクは自分が分かってないことを分かってるけど」と自白するのだ ・そういう人が、他人に対して ”10年もの間、 5ch数学板でガロアと名の付くスレッドを立て続けたが 結局ガロア理論の基本定理も理解できなかった”と評せるのかね? はて? ・どんな神経しているんだろ? なに! サイコパスだって!!(>>2 ご参照)w(^^ ・サイコパスなら、分かる分かるよ。サイコパスは、常人の神経とは違うからねww(^^; >>127 >なんでガロア理論にこだわるのかわからんけど そりゃ、数学科でガロア理論を学び、30年経って「ボクは自分が分かってないことを分かってるけど」と自白するおサルには、分からないだろうねぇ〜(^^ だが、すでにいろんなプロ数学者のガロア理論解説を、引用したように、ガロア理論が現代抽象数学の出発点であって 数学史としても、大きなターニングポイントになっているのだ 京大でガロア祭が、なぜ”ガロア”を冠するのか?(下記) Fラン数学科落ちこぼれさんでは、なんでなのか理解できない?? ああ、Fラン数学科で落ちこぼれたおサルには、理解できないことだよなぁ〜!! わかんねーだろなぁ〜、 おサルには・・www(^^; (参考) http://www.kyoto-up.org/archives/356 京都大学新聞 愛すべき数の祭典 理学研究科でガロア祭(2008.06.16) 加藤和也教授によるガロア祭開催の挨拶に続き、中島啓教授と熊谷隆教授が順に講演した。中島教授は、「大型計算機でE‐8型箙多様体のベッチ数を計算した話」と題して、紙と鉛筆を用いない数学の研究方法について講演した。熊谷教授は、「複雑な系の上で熱はどのように伝わるか?」と題し、フラクタルなどの複雑な構造をもつ図形において、熱伝導をどのように解析するかについて話した。両方とも高校レベルの数学の知識ではほとんど理解できない内容。話を聞いた数学科の大学院生でも「専門外だが流れは理解できる」程度の高度な内容だった。しかし、講演を聞いた理学部の2回生は「生き生きとしゃべる教授を見て、研究の臨場感は伝わってきた。将来は熊谷教授の研究室に行くかもしれない」と感想を述べていた。 東工大教授の加藤文元先生による「ガロア理論特別講義」の第1回 VIDEO 女の子とやるな。 計画を阻止しろ。 わかるだろこの発言で。 日常会話で済む時代は終わったんだよ。
計画は計画だ。 方々は面接する時の信念の無い目と喋り方でわかる。
居住権を与えるな。 冗談を言っているわけではない。 計画を始めるあめりかじんがなにもないとぼけたかおで地域に散らばり始めている。 日本はあめりかの植民地になるぞ。 男の子は消される。私以外。 友達という心を愛の操作。。。 もうやめた。日本は手遅れだ。
>>20 >解の存在 > 6.代数方程式は必ず複素数の解をもつ。 > 方程式がn次なら、重複も含めて(※)n個の解をもつ。 > (代数学の基本定理 C.F.ガウス) くそブログのダメなところで 分かりやすいところを、まず一つ指摘しておくと この6番目は、本来はガロア理論以前の話で 冒頭にもってくるべきでしょ n次式で根がn個で、ここからn次対称群が出るんだ 順番間違えているよ ガロア理論の以前と ガロア理論の本論(ガロアがやったこと)とが、グシャグシャじゃんか これじゃ、ダメダメ(^^ ガロアのやったことの偉大さが全く伝わらないしね(^^; >>138 追加 海城の ガロア理論 リレー講座(下記)でも参考にしろよ さすがに分かるだろう 嫁めw https://www.kaijo.ed.jp/wp-content/uploads/2016/02/2011summer_6Amitani.pdf 4次方程式と5次以上の方程式の Galois 理論 Galois 生誕 200 年記念 数学科リレー講座 6 日目 担当: 網谷 泰治 2011 年 8 月 27 日 (土) 1 Galois 理論とは? Galois 理論では, 何が分かるのか。最初に説明します。 以下, 有理数のなす集合をQ と表します。係数が有理数のn 次方程 式 (以下, 代数方程式とよぶ) の根になる数, 言い換えると xn + a1xn?1 + ・ ・ ・ + an?1x + an = 0, a1, . . . , an : 有理数 の根になる数を 代数的数 とよびます。 (以下は略す) やたら難しいエロ用語使うから嫌だったけど工作員だった。
>>129 >他人に対して >”10年もの間、 > 5ch数学板でガロアと名の付くスレッドを立て続けたが > 結局ガロア理論の基本定理も理解できなかった” >と評せるのかね? ” ”内は数学板の人はみんなわかってるけどね もしかして自分ではガロア理論の基本定理が理解できてるつもりだった? >>130 >ガロア理論が現代抽象数学の出発点であって >数学史としても、大きなターニングポイントになっているのだ つまりわけもわからず食いついたってことかな? さすが他人にマウントとりたがる人は違うね >>131 >検索能力は大したもんだ でも彼、理解力はあきれるほど低いよね >>138 >>解の存在 >> 6.代数方程式は必ず複素数の解をもつ。 >> 方程式がn次なら、重複も含めて(※)n個の解をもつ。 >> (代数学の基本定理 C.F.ガウス) >この6番目は、本来はガロア理論以前の話で >冒頭にもってくるべきでしょ また、つまんないいいがかりつけてるね この人は 代数学の基本定理は、ガロア理論とは直接関係ないよ だから分けたってことで、順序は関係ないな >n次式で根がn個で、ここからn次対称群が出るんだ >順番間違えているよ ああ、nにのみ脊髄反射したんだ あいかわらずアサハカな人工無脳だねえ この人は >ガロア理論の以前とガロア理論の本論(ガロアがやったこと)とが、 >グシャグシャじゃんか グシャグシャなのは、あなたの脳みそでしょ ま、nにしか反応できないアニマル脳じゃ仕方ないか 毎年この時期になるとアク目指す学生に疑問を思うんだけど、アクチュアリーの何に憧れてんだろうな。 高収入で、自分が専攻してた数学とかをバリバリ使ってモデリングとかして学問的なことができるって思われてるんだろうかね。 もちろん数理系の部署の中の一部のアクはそういう仕事もやってなくはないけど、大半のアクがやってることなんて 誰でもできる数字の検証作業だったり、Excelでデータを集計するレベルの雑務みたいなことしかやってないのにな。確率・統計の「か」の字も業務中に出てこないのがほとんどだぞ。 高収入って言っても、他の総合職と同じ給与体系だし、特別「アクチュアリーだから」って理由で給与が高くつくことは基本ないんだけどな。
”雑談 ◆yH25M02vWFhP”は、ベキ根しか知らないのかねえ? 別に代数方程式の解を求めるのに、ベキ根しか使えないわけじゃないでしょ https://mara.hatenablog.jp/entry/2021/04/18/190851 の1~5はガロア理論による5次以上の代数方程式の ベキ根による解の公式の非存在の証明のトレースだけど 6は「代数方程式には必ず複素数解が存在する」という話 7は「ベキ根という制限がなければ、”解の公式”は存在する」という話 8は「そもそも”解の公式”に固執しなければ、解を求めるアルゴリズムは存在する」という話 いずれも「無闇に現代数学を”万能の魔法”視する夢見る素人」に対する解毒剤 もっとロコツにいえば「モザイクつきのAVしか見たことないDT」に対するクッキリハッキリした無修正動画 >>145 アクチュアリーに限ったことじゃないけど、 資格もってると食いっぱぐれないと 安易に考えてる人が多いってことだろうね しかしそういう人は生き残れないね だって考えてないから 考えない人は滅びるよ 5次以上の方程式の解の公式にこだわる人って 角の三等分にこだわる人と同類なんだろうな わけもわからず完全な万能性を欲するっていうか 21世紀のトマス・ホッブスっていうか しかし現実には、別に有限回の手順で完璧な解を求める必要なんてない って分かるもんだけどな 角の三等分然り、代数方程式の解法然り いくらでも正確に近似できれば問題ない 求められてるのはホッブスが考えるような完全な解答ではなくて ジョン・ウォリスのような解析的な方法論 工学者が目指す道はそっちだとおもうんだけど そこに気づけないって工学者としてもナンセンスだよな
>>148 ・・・というようなことを 「無限小 世界を変えた数学の危険思想」 アミーア・アレクサンダー を読んで思ったね ”雑談 ◆yH25M02vWFhP”も、ガロアとかグロタンディクとかいう前に 「無限小」を読んだほうがいいんじゃね? マジで >>143 検索なんて誰でもできるので嫌味なんだがw >>144 >代数学の基本定理は、ガロア理論とは直接関係ないよ >だから分けたってことで、順序は関係ないな あらら、アホなことを(^^ 1.理路整然という言葉がある 2.順序は重要だよ。何をどういう順番にするのか? それは常に意識しておくべき 3.順番を間違えると、間違った結果になることが多い 4.いまの話だと、なにをどういう順番に配置するのか? そこが考えられていないって指摘だぜよ(^^; 5.頭の中が、グシャグシャだな (参考) https://dictionary.goo.ne.jp/word/%e7%90%86%e8%b7%af%e6%95%b4%e7%84%b6/ 理路整然 の意味・使い方 goo 理路整然の解説 - 三省堂 新明解四字熟語辞典 りろ-せいぜん【理路整然】 文章や話が、秩序立てた論理で展開されているさま。▽「理路」は筋道のこと。「整然」は秩序正しいさま。 理路整然の解説 - 学研 四字熟語辞典 りろせいぜん【理路整然】 きちんと筋道の立った話し方や文章の組み立てのこと。 >>153 補足追加 1.n次方程式、n個の根を持つ。代数学の基本定理から、n個の根は複素数の範囲だ。だが、周知のように、有理数の範囲ではない(無理数) 2.n個の根の置換の成す群が、方程式の根のもつ性質を表す。これぞ、ガロア理論の思想でしょ? 3.べき根拡大 英 Radical extension と 巡回拡大(つまり ガロア群が巡回群のとき)下記 そして、以下のような ”A field extension is called a cyclic extension if its Galois group is cyclic. For fields of characteristic zero, such extensions are the subject of Kummer theory, and are intimately related to solvability by radicals.” ここをちゃんと語らないと(^^ 4.ガロア理論を語ったことにならない!(海城 >>139 を見よ!!(^^ ) (参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Radical_extension Radical extension Solvability by radicals The proof is related to Lagrange resolvents. It follows from this theorem that a Galois extension may be expressed as a radical series if and only if its Galois group is solvable. This is, in modern terminology, the criterion of solvability by radicals that was provided by Galois. The proof uses the fact that the Galois closure of a simple radical extension of degree n is the extension of it by a primitive nth root of unity, and that the Galois group of the nth roots of unity is cyclic. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E6%8B%A1%E5%A4%A7 アーベル拡大 つづく >>154 つづき ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大 (abelian extension) と言う。ガロア群が巡回群のときは、巡回拡大 (cyclic extension) という。ガロア拡大が可解 (solvable) であるとは、ガロア群が可解、つまり中間拡大に対応するアーベル群の列からガロア群が構成されるときを言う。 有限体の全ての有限拡大は、巡回拡大である。類体論の発展は、数体と局所体と、有限体上の代数曲線の函数体のアーベル拡大についての詳細な情報をもたらした。 円分拡大という概念があり、2つの少し異なる定義がある。1つは1の冪根による拡大のことであり、もう1つはその部分拡大のことである。例えば円分体は円分拡大である。任意の円分拡大はいずれの定義でもアーベル拡大である。 体 K が 1 の原始 n 乗根を含み、K のある元の n 乗根が添加されると、この拡大はいわゆるクンマー拡大であり、これはアーベル拡大となる。(K の標数が p > 0 のとき、p は n を割らないと仮定しなければならない。もし割るようであれば、分離拡大ですらないからである。)しかしながら、一般に、元の n 乗根のガロア群は、n 乗根と1の冪根の双方に作用し、半直積として非可換ガロア群を構成する。クンマー理論は、アーベル拡大の場合を完全に記述する。クロネッカー・ウェーバーの定理は、K が有理数体のとき、拡大がアーベル的であるということと、拡大が1の冪根を添加して得られる体の部分体であることとは同値であると言う定理である。 https://en.wikipedia.org/wiki/Abelian_extension Abelian extension つづく >>155 つづき In abstract algebra, an abelian extension is a Galois extension whose Galois group is abelian. When the Galois group is also cyclic, the extension is also called a cyclic extension. Going in the other direction, a Galois extension is called solvable if its Galois group is solvable, i.e., if the group can be decomposed into a series of normal extensions of an abelian group. Every finite extension of a finite field is a cyclic extension. https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_group Cyclic group 2.4 Galois theory A field extension is called a cyclic extension if its Galois group is cyclic. For fields of characteristic zero, such extensions are the subject of Kummer theory, and are intimately related to solvability by radicals. For an extension of finite fields of characteristic p, its Galois group is always finite and cyclic, generated by a power of the Frobenius mapping.[8] Conversely, given a finite field F and a finite cyclic group G, there is a finite field extension of F whose Galois group is G.[9] https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4 巡回群 (引用終り) 以上 >>152 >検索なんて誰でもできるので嫌味なんだがw そうでもないよ 1.適切なキーワード選びから始まる 2.普通沢山のヒットがある 3.玉石混交の中から、適切なものを選ぶ能力 素人が数学の情報を一つのキーワードだけで 検索しても、情報の海に溺れるだろうね 本当に自分の欲しいかつ自分に合ったレベルの情報には、なかなかたどり着かないだろう >>157 ・海城のガロアの資料も、旧ガロアスレで取り上げたから、キーワード”海城”と組み合わせてすぐ出る ・大体は、知っていることを、確認のために検索している ・あと、1から自分で書けば小一時間のところ、コピペすれば10分くらい ・楽だし、多分正確だし、典拠をつければ信頼性が増す >>154 >べき根拡大 と 巡回拡大(つまり ガロア群が巡回群のとき) >ここをちゃんと語らないと 君、語れるの? 無理っしょ 何イキッてるの ニュートン法、勉強したら? >>153 >理路整然という言葉がある 論理が分からない人には関係ないよ >>157 >素人が数学の情報を一つのキーワードだけで >検索しても、情報の海に溺れるだろうね >本当に自分の欲しいかつ自分に合ったレベルの情報には、 >なかなかたどり着かないだろう なかなか、じゃなく、決して、ね キーワードだけ知っても、定義の文章を理解できない時点で無理 そういう大学数学を理解できる論理的思考力がない 一般人レベルの人が得られる情報は皆無だから IOCは日本と東京都にオリンピック開催を強制するな
スポンサーの宣伝カー ありゃなんだ? コロナを撒き散らかしたいのか
>>163 >ガロア理論知っても、ベキ根で解けない代数方程式が >解けるようになるわけじゃないってわかってる? >ニュートン法でも勉強しなよ こいつ、相当あたま悪いな そういう認識だから、あんなくそブログのガロア理論の記述になるんだね(>>19-20 ご参照) ガロア理論の革命性と数学史上のインパクトの大きさが、全く理解できていないね、おサルは なるほど、数学科で落ちこぼれるわけだよな まあ所詮Fランはこの程度かもw(^^ ガロア祭やる京都大学とは比べるのもなんだけどなww(^^; >>170 ん?もしかして本気で 「ガロア理論で、どんな代数方程式も瞬時に解ける! これぞ革命!ビッグ・インパクト!」 と思ってた? これは酷い・・・ >ガロア祭やる京都大学 でも京大落ちて阪大、しかも理学部じゃなく工学部に逃げた人には 全線関係ないよね? >>172 無限に関する雑談君の誤り(1) ■無限列における「尻尾の同値関係」の定義 実数の無限列の集合 R^Nを考える。 s =(s1,s2,s3,・・・),s'=(s'1,s'2,s'3,・・・)∈R^Nは ある番号n0から先のしっぽが一致するとき (∃n0.∀n >= n0 → sn= s'n ) 同値s 〜 s'と定義しよう。 ■無限列における「決定番号」の定義 同値関係〜は R^N を類別する。 (選択公理により)任意の実数の無限列sに対し sと同値な代表r=r(s)をちょうど一つ選べる。 sとrとがそこから先ずっと一致する番号を sの決定番号と呼び、d=d(s)と記す。 >>173 ■問題 「ランダムに無限列sを選んだとき その決定番号d(s)の”分布”はどうなるか?」 ■雑談君の珍回答 上記の問題に対し雑談君は下記の回答を返した。 http://2chb.net/r/math/1609427846/5 「項が有限(n個)の場合には、 基本的には、しっぽの同値類は、最後(n番目)の項で決まる。 項が無限の場合は、 n→∞を考えれば、決定番号n→∞になる。」 「一見、決定番号が有限の数が得られそうに思うが、 可算無限長の列では、n→∞となる。」 >>174 ■誤りの解説 決定番号は∞になる、というのは全くの誤りである。 なぜなら、∞は自然数ではないからである。 有限列では列の最後の項があるが、 無限列では列の最後の項はない。 もし「決定番号∞」という言葉で、 「いかなるn0についても、その先でしっぽが不一致の箇所がある。」 (∀n0:∃n >= n0.∧sn =/= s'n ) といっているのなら、 「そもそも列sと、その同値類の代表rは、同値でない。」 ということになる。 しかし、それは 「rがsの同値類(つまりsと同値な元全体の集合)の代表」 であることに反する。 rはsの同値類の代表であるから、rはsと同値である。 したがって当然、決定番号d(s)は自然数であり、有限である。 >>172 無限に関する雑談君の誤り(2) ■Zermeloによる自然数の定義 0を{}とし xが自然数のときs(x)(つまりx+1)を{x}とする。 1={{}} 2={{{}}} ・・・ となる。 >>176 ■問題 さて、任意の自然数より大きい最初の極限順序数ωはどう表せるか? ■雑談君の珍回答 上記の問題に対し雑談君は下記の回答を返した。 http://2chb.net/r/math/1592654877/765 「括弧は可算無限個用意できるよね ・・・}}・・・ ってね で、上記列を鏡(カガミ)に写した鏡像を作れば、 逆の括弧の列も、同様に ・・・{{・・・ ってできるよ そして、真ん中に0(={})を入れて、 ・・・{{・・・{ }・・・}}・・・ ってできるよね それだけのことでしょ? 上記はシングルトンであって、括弧{} が可算無限重に重なっている集合 これがZermeloのシングルトン構成によるωでしょ」 >>177 ■誤りの解説 実は・・・{{・・・{ }・・・}}・・・ はシングルトンではない。 なぜなら、一番外側の{}が存在しないから。 したがって何が要素か示せない。 つまり集合ですらない。 >>172 無限に関する雑談君の誤り(3) 雑談君は無限集合に関して、以下でいう”コンパクト性”が成立する、と誤解している。 http://2chb.net/r/math/1595034113/183 (”コンパクト性”)「無限集合は、その任意の有限集合が性質Pを持つとき、性質Pを持つ」 しかしそんなことは論理ではちっとも導けない。 自然数の任意の有限集合には最大元がある。 しかし無限集合の場合には最大元がない。 自然数全体の集合でもその無限部分集合でも同じである。 つまり、雑談君が考える”コンパクト性”は、ただの思い込みである。 >>172 無限に関する雑談君の誤り(4) (上方)レーヴェンハイム・スコーレムの定理の証明では 「いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない」 ということを示す。 レーヴェンハイム–スコーレムの定理 - Wikipedia これを読んで雑談君はこう考えた 「いくらでも大きな有限のモデル=無限 ってことじゃね?」 http://2chb.net/r/math/1609427846/89 残念ながら、定理のステートメントを読み間違ってます。 「無限のモデルを持つなら、いくらでも大きい有限のモデルを持つ」 とはいってません。 具体的にいえば、自然数の有限モデルはありません。 したがって、N全体について「つねに最大元が存在する」なんてことは言えません。 むしろ逆にN全体について最大元がないことが、有限モデルの非存在の証明となります。 >>170 >ガロア理論の革命性と数学史上のインパクトの大きさが、全く理解できていないね、おサルは <補足>ちょっと古いが「ガロア理とその応用」 https://www.saiensu.co.jp/book_support/20094910054691191/sk197911.pdf 数理科学 NO.557, NOVEMBER 2009 「数理学」は語る 30年前から現代へのメッセージ 彌永 健一 (いやなが・けんいち、東京海洋大学名誉教授) 1979年11月号 特集 ガロア理とその応用 中学生の頃だったか、父(鹿永昌吉)の本棚にあったインフェルトの「ガロアの生涯神々の愛でし人」特集 ガロア理とその応用(市井三郎訳,日本評論社)を見て,表紙にあったガロアの愁いを帯びた表情に惹かれて読みふけった。 1979年 11 月号のガロア理論とその応用についての特集にガロアについて書かないかと依頼されたとき、彼についてはよく知っているような気がして気安く引き受けたところが、手元にあったデュピュイのガロアその真実の生涯(壮雄一訳、東京図書)や、大学の図書室にあったガロア全集(Euvres de Galois 1976)などを改めて見て愕然とした ガロアについての基本的なデータの数々が、それぞれ食い違っていたのである. インフェルトの本にある印象深いエピソードの数々の中にも、事実とは異なるらしいものがあることにも気づいた。 締切までの時間に史実についての確認をすることもできないまま悩んでいたが,その一方,全集にあるガロアによる数学の進歩についての文章や、彼がサント・ペラジーの刑務所で書いた論文の序文などを読み,強い共感を抱いた。 当時,成田空港に反対する運動は青年たちの心を躍らせ、金や権力で住民たちを踏みつけていた者たちに対する憤りの気持は私の中にも渦巻いていたのである. つづく >>181 つづき 1830年, フランス7月革命の最中で命がけで戦い、その中で数学に熱中していたガロアの文章にある、権威に対する不信と怒り、数学のダイナミズムについての情熱は、私自身の心にあったものと深く響き合う内容だった。 今ではすっかり整理され,代数学を学ぶ者にとっては必修であるガロア理論も、未整理な部分を含みながらも、空をわたる雲れたガロアの遺稿集のような広がりを持つ体の世界と,結晶のように澄明な群というな群という、極めて異なったものどうしが作用し合う舞台装置として考えられていたのである。 30年前の文章について,今振り返るために、父による『ガロアの時代ガロアの数学 第1部,第2部」(シュプリンガー・ジャパン)と山下純一氏による『ガロアへのレクイエム」(現代数学社)に目を通して,私の文章には伝説を定説として受け取っていた部分もいくつかあったことに気づいた。 また、ガロアのヴィジョンには、後にリーマン面論として知られる壮大な理論の萌芽が,「多義性の理論」として含まれていたらしいことが、 上にあげた全集の前身といえる1897年に出されたガロアの遺稿集の序文の中でピカールによって指摘されていることも知った. 再来年(2011年)にはガロアが生まれてから200年になる. ガロアが抱いていヴィジョンについても、改めて評価し、それを時代と数学の流れの中に位置づけるような作業が望まれる. (引用終り) 以上 >>176-178 ・・・{{・・・{ }・・・}}・・・ がシングルトンどころか集合ですらないことは理解できたかい? >>179 「コンパクト性」が無条件の前提でもなんでもないことは理解できたかい? >>180 自然数の有限モデルが存在しないことは理解できたかい? >>181 > 1979年11月号 特集 ガロア理とその応用 へー、こんなのがあったんだね 1979 特集 ガロア理論とその応用 数理科学か まあガロア理論が、おサルの理解しているような、ちんけなものじゃないことは それ常識だし、彌永 健一先生が書いてある通りじゃね? おサルのガロア理論に対する認識は、全く陳腐なものだし Fラン数学科で落ちこぼれじゃ、そんなものだろうね なるほど あんなくそブログ(>>19-20 )しか書けないわけだよねww(^^; >>189 >まあガロア理論が、ちんけなものじゃないことは >それ常識だし、先生が書いてある通りじゃね? ガロア理論がどんなもんだろうが 大学1年の4月でオチコボレた キミの人生には全く関係ないよ >>189 >くそブログ キミの💩コピペテロよりは全然マシじゃね? キミもコピペ遊びしたいならブログでやりなよ >>178 (引用開始) ■誤りの解説 実は・・・{{・・・{ }・・・}}・・・ はシングルトンではない。 なぜなら、一番外側の{}が存在しないから。 したがって何が要素か示せない。 つまり集合ですらない。 (引用終り) アホか まだ理解できないの? 「なぜなら、一番外側の{}が存在しないから」だと? アホか カントールのωは、極限順序数ですよ 極限を考えるんだよ、アホか ノイマンの構成法でも同じことよ それが、分からんとね?w(^^; (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 極限順序数 任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数(つまり自然数)n が常にそれよりも大きい別の自然数(なかんずく n + 1)を持つから、極限順序数である。 例 順序数全体の成す類は整列順序付けられているから、有限でない最小の極限順序数 ω が存在する。この順序数 ω は、自然数の最小上界に一致するものとして、最小の超限順序数でもある。ゆえに、ω は自然数全体の成す集合の順序型を表している。 >>192 >カントールのωは、極限順序数ですよ >極限を考えるんだよ で、一番外側の{}はあるの? ある、として、それをとっぱらった中身はω−1? アルェー?極限順序数だよね?後続順序数じゃないよね? アタマ、大丈夫? >ノイマンの構成法でも同じことよ ノイマンのωには、一番外側の{}はあるよ で、それをとっぱらった中身は、全て有限順序数だよ で、キミがいうツェルメロのωってシングルトンなんでしょ? で、その唯一の要素ってωー1でしょ? オカシイでしょ? 気づかないの?🐎🦌? >>192 補足 >>178 (引用開始) ■誤りの解説 実は・・・{{・・・{ }・・・}}・・・ はシングルトンではない。 なぜなら、一番外側の{}が存在しないから。 したがって何が要素か示せない。 つまり集合ですらない。 (引用終り) すごい幼稚なことを言っている まるで、小学生か中学生の発想だよ 抽象思考ができないみたいだね まるで、おサルさんだね(ダジャレ)w >>194 いや、全く論理的思考ができず 「ツェルメロの構成では0以外の自然数はみなシングルトン だからその「極限」も、オメガ、シングルトン、ゼッタイ」 とかわめいてる君こそ幼稚だって さすが🐎🦌 もし、論理が分かってるなら 「ωが極限順序数であって、直前の順序数がないのだから シングルトンとして構成できた場合 その唯一の要素は直線の順序数以外あり得ず したがって矛盾する」 ってわかる筈 わからないなら、全然考えてないよな
>>196 一字修正 もし、論理が分かってるなら 「ωが極限順序数であって、直前の順序数がないのだから シングルトンとして構成できた場合 その唯一の要素は直前の順序数以外あり得ず したがって矛盾する」 ってわかる筈 わからないなら、全然考えてないよな そっか、決定番号は、有限か ヤッパ、モピロン、ポクの思った通りだ 箱も無限個の用意するまでもなく 有限個でも的中する戦略Tか存在する ようだ。 モピロン、モッピロン、公営ギャンブル にも応用出来ると、思う。 出目理論というので、純粋数学の理論 ではないが、星占いより的中率は 高い確率が高いと思う。 早速、公営ギャンブルで、無限大の 利益をゲットする為、数学を勉強する by 👾
>>198 >箱も無限個の用意するまでもなく >有限個でも的中する戦略Tか存在するようだ。 ホントですか?もし、そうなら大発見なので 即、論文書いて発表したほうがいいですね >>200 >”無限”なんてのは、ある程度抽象的な思念の産物なのよ >そして、ある性質で、有限の集合とは全く違う性質を持っていてもなんら矛盾ではない は >ωが極限順序数であって、直前の順序数がないのだから >シングルトンとして構成できた場合 >その唯一の要素は直前の順序数以外あり得ず >したがって矛盾する に対する何の反論にもなっておらず、ただただナンセンスなだけ。 バカ丸出しとしか言い様が無い。 なんでいつもいつも毎回毎回ナンセンスなことしか書けないの? 馬鹿は無理して数学板来なくていいから
>>200 >極限順序数では、有限の順序数と異なる性質を持っていても >なんら不思議も不都合も無いのです その通り つまり、xの後続順序数は{x}というシングルトンで定義されるが、 極限順序数が、同様にシングルトンとして定義される必要はないし 実際そうできない >さて、 >>「ωが極限順序数であって、直前の順序数がないのだから >> シングルトンとして構成できた場合 >> その唯一の要素は直前の順序数以外あり得ず >> したがって矛盾する」 >”その唯一の要素は直前の順序数以外あり得ず”のところが、 >不成立でもなんら問題はないと思いますよ そう思ってるなら、雑談君は何も考えてない ω={α}として、αが順序数なら、ωはαの後者である なぜならαの後者は、{α}と定義されているのだから >それに、「一番外側の{}が存在しない」(>>178 )などというも、 >それを極限順序数に要求する必然性は全くないよね 大いにある なぜなら、極限順序数は集合であるから いかなる抽象的な思念の産物であろうと 集合であるかぎり ω={・・・}(・・・内には要素が入る) と表される 逃げようがない >一番外側の{}が存在するようにしたければ、 >それくらいのことは簡単に実現できるしね その場で一番外側に{}をつけてごまかしても たった一回外しただけで、集合でない要素に行き当たって終わるけど (考えなかったの?(呆)) 外側に何個つけようが有限個なら、 その個数分外しただけで、集合でない要素に行き当たって終わるから 結局同じこと じゃ、無限個つける?自爆だね? 基礎の公理に真っ向から反することやってるじゃん 集合論の公理を全く知らないんだね、雑談君は この件、例のブログに追記させてもらうわw いやー、まったく次から次へと間違ってくれてありがとう ネタにちっとも困らないよwww >>203 の続き >つまり、xの後続順序数は{x}というシングルトンで定義されるが、 >極限順序数が、同様にシングルトンとして定義される必要はないし ωの場合は、ωより小さい順序数(つまり自然数)からなる ”無限集合”として定義すればいい それでωから{}に至る有限長の∋降下列が構成できる しかもその長さはいくらでも長くできる なぜなら、ωの要素としていくらでも大きな自然数xがとれるから ほんと、雑談君は、無限に関する思考が全然できない お🐎🦌ちゃんなんだねえwwwwwww >>200 >(一番外側の{}が存在するようにしたければ、それくらいのことは簡単に実現できるしね(考えてみて(^^; )) おサルさん、下記の自分の発言忘れた? (>>11 より) 11 名前:哀れな素人[] 投稿日:2021/04/20(火) 08:49:16.87 ID:o1SCGAb/ スレ主よ、サル石が、 定義すれば存在する、と書いたから、 では火星人を定義したら火星人は存在するのか、と質問してやったら、 >数学上で火星人を定義すれば数学上に火星人は存在する という珍レスを書いてきた(笑 (引用終り) 数学では、シングルトンのωは定義できるよ(火星人の定義は不可だが)(^^ 0th:={} 1st:={{}} 2nd:={{{}}} 3rd:={{{{}}}} 4th:={{{{{}}}}} ・ ・ n-1th:={・・{}・・}({}がn個) nth:={{・・{}・・}})({}がn+1個。但し追加の{}は、一つ内側に入れる。最外層の{}はn-1thのものを生かす。こうすれば、常に最外層の{}が存在する) ・ ・ ω:={{・・・{}・・・}}({}が加算多重になった集合と定義する。nは自然数Nの全てを渡る) シングルトンのωが定義できた だから、シングルトンのωは存在する (というか、極限順序数ωに対応するシングルトンが、定義(つまり構成)できたと考えて良い ( n∈N で、自然数の集合Nを添え字集合と考えれば良いだけのこと) >>205 >(というか、極限順序数ωに対応するシングルトンが、定義(つまり構成)できたと考えて良い >( n∈N で、自然数の集合Nを添え字集合と考えれば良いだけのこと) 補足: ・この立場は、(下記)神の天地創造のように、全てを空集合Φの最初から構成しようという立場とは異なる ・つまり、天地創造が終わって、自然数の集合Nなどが全てそろい、極限などの概念も全て整備された ・その後で、極限順序数ωに対応するシングルトンを定義(つまり構成)しようという立場です ・だから、いろんな道具や概念が使える。その一つが、添え字集合としての自然数の集合Nです ・これは、ノイマンが全てを空集合Φの最初から公理的に構成しようとした立場とは、異なるよ (そういう立場からの批判は、当たらないということです) (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A9%E5%9C%B0%E5%89%B5%E9%80%A0 天地創造 神は「光あれ」と言われた。すると光があった。 >>205 >数学では、シングルトンのωは定義できるよ 縁なき衆生は度し難し・・・ >0th:={} >1st:={{}} >2nd:={{{}}} >3rd:={{{{}}}} >4th:={{{{{}}}}} > ・ > ・ >n-1th:={・・{}・・}({}がn個) >nth:={{・・{}・・}})({}がn+1個) ここはいいよ。ま、小学生でもわかるけどねw >但し追加の{}は、一つ内側に入れる。最外層の{}はn-1thのものを生かす。 それ、後続順序数の定義と違うから誤り 追加の{}は、外側につける。つまりn={n−1} 上記の定義でも、常に最外層の{}が存在する > ・ > ・ >ω:={{・・・{}・・・}} >({}が加算多重になった集合と定義する。nは自然数Nの全てを渡る) はい、ダメ~。×。 上記の似非集合は、無限降下列をもつので、基礎の公理に真っ向から反します。 キミ、あいかわらず基礎の公理が全然理解できないんだねえ(呆) そもそも{}の数しか考えないところが ホント論理を全く理解できない具体🐎🦌 どこの島の土人? >シングルトンのωが定義できた >だから、シングルトンのωは存在する 基礎の公理に矛盾するので 「シングルトン」のωは、火星人同様存在しません ざんね~んwwwwwww >>206 >>極限順序数ωに対応するシングルトンが、定義(つまり構成)できたと考えて良い >>( n∈N で、自然数の集合Nを添え字集合と考えれば良いだけのこと) >・この立場は、全てを空集合Φの最初から構成しようという立場とは異なる >・つまり、天地創造が終わって、自然数の集合Nなどが全てそろい、極限などの概念も全て整備された >・その後で、極限順序数ωに対応するシングルトンを定義(つまり構成)しようという立場です >・だから、いろんな道具や概念が使える。その一つが、添え字集合としての自然数の集合Nです >・これは、ノイマンが全てを空集合Φの最初から公理的に構成しようとした立場とは、異なるよ >(そういう立場からの批判は、当たらないということです) なにわけのわかんないこといってんだ?この小二はw まず、キミのやり方では肝心の極限の概念は全く整備されてない。 キミの考える「天地創造」では、有限集合しか定義できてない。 つまり自然数の集合Nは存在しない これを存在させるには無限公理を設けるしかない つまり 「ツェルメロが「無限集合あれ!」といわれた すると無限集合があった」 ということwww で、ツェルメロの順序数構成で同じことをやるなら ∃x.{}∈x&∀y.y∈x⇒{y}∈x という論理式を公理に設定する必要があるってこと 上記の公理を満たす最小の集合こそがツェルメロ構成でのω もちろん、無限集合 シングルトンでもなんでもな~い これこそが、極限の概念の整備だよ ボクwww >>198 >早速、公営ギャンブルで、無限大の >利益をゲットする為、数学を勉強する 公営ギャンブルには、必勝法がないギャンブルと、 必勝法はあるがそれを身に付けるにはかなりの努力を要するギャンブルがある。 数学は、公営ギャンブルで如何に損をしないかという対策には使えるが、 公営ギャンブルで多額に儲けるには見たところ余り使えない。 >>205 >ω:={{・・・{}・・・}}({}が加算多重になった集合と定義する。nは自然数Nの全てを渡る) このωが集合だとして、その唯一の要素は{}が何多重? >シングルトンのωが定義できた 上記への回答が可算多重だとしたらω={ω}であって、ωは集合じゃありませんね。正則性公理に反しますから。 なぜいつもいつも毎回毎回知らないのに知ってる風を装って語るんですか?恥ずかしくないですか?恥知らずだから恥ずかしくないんですね? >>205 {}を除き、自分自身と交わらない要素を持たないと集合の資格がありません。(正則性公理) ω∩ω=ω≠{} だから、ω={ω}なら、ωの唯一の要素ωは自分自身と交わる、すなわち自分自身と交わらない要素を持たない、すなわち正則性公理違反。 よってあなたの云う「シングルトンのω」は集合ではありません。 現代数学は集合のみで構成可能なので、あなたの云うωは数学外です。数学外の話をしたいなら数学板外でやって下さい。 さらなる燃料投下w 「グロタンディーク宇宙の公理から 宇宙の要素となる集合の存在は導けない」 理由 空集合がグロタンディーク宇宙の公理を満たすw 上記の下らん例は、 「グロタンディーク宇宙が空集合{}を要素として持つ」 とするとすれば排除できるが・・・ 「グロタンディーク宇宙の公理から 宇宙の要素となる無限集合の存在は導けない」 理由 すべての遺伝的有限集合 の集合Vωがグロタンディーク宇宙の公理を満たす したがって、グロタンディークの公理とは別に 「グロタンディーク宇宙の要素となる無限集合が存在する」 という必要がある
>>207 おサルは、前に(旧ガロアすれで)教えたのに、 また同じところで間違えるw(^^ >上記の似非集合は、無限降下列をもつので、基礎の公理に真っ向から反します。 ・基礎の公理は、∈による無限降下列のみを禁止する。つまり、∈による無限上昇列は禁止していない 禁止しているのは、底なし沼のような、∈による無限降下列 ・例えば、もしあったとして、・・・X-4∈X-3∈X-2∈X-1みたい無限降下列 あるいは、・・・x∈x∈x∈x みたいな無限降下列 ・しかし、空集合Φ={} からスタートして、∈を使って自然数を作るうえで、無限上昇列はできるが、それは良いのだ 例えば、下記ノイマン構成で Φ={} =0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈N(自然数の集合で加算無限の濃度を持つ) これは可だ ・この上昇列”Φ={} =0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈N”は、nが全ての自然数を渡るとき、無限上昇列になる(証明は思いつくだろう。背理法を使えば簡単。ある有限の長さLに対して、常にL+1の長さの上昇列が可能だ) おサルは、基礎の公理が分かってない! それに、基礎の公理を使わない公理系もあるよ(下記など) 基礎の公理は絶対ではない!! 基礎の公理を使えば、スッキリするのは確かだがね(^^; (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 自然数の公理 「ペアノの公理」も参照 0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。 自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。 無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。 このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。 0 := {} 1 := suc(0) = {0} = {{}} 2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} } 3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } } 等々である[3]。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86 ペアノの公理 この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[1] 。 つづく >>214 >例えば、下記ノイマン構成で >Φ={} =0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈N(自然数の集合で加算無限の濃度を持つ) >これは可だ Nの一つ前の項を答えて下さい >>19 追加(遠隔レスご容赦) (引用開始) ガロア理論については、理学部数学科を卒業した人以外にとっては 「5次以上の方程式が、代数的に解けない」 (代数的に解けない=ベキ根だけ使ったのでは解けない、の意味) ということを証明する理論としてしか認識されてないし (引用終り) 話は逆だろうな 1.Fラン数学科の講義では、 ”ガロア理論については、 「5次以上の方程式が、代数的に解けない」 (代数的に解けない=ベキ根だけ使ったのでは解けない、の意味) という命題を最高到達点とするのが、精一杯だw(^^; 2.一方、世間一般の通俗本では、 ”フランスの天才数学者エヴァリスト・ガロアが方程式に関して行った考察は、その後の数学や物理学の発展に重要な役割を占めることになりました。 方程式の解の関係性を表すガロア群。具体的な方程式のガロア群を計算することで複雑に見えていた解の構造が浮かび上がります。” ってことだけど、こんなことを、Fラン数学科では、講義できない!ww そんな講義をできるFランではない!!w(^^ 3.よって、冒頭の文の認識は、Fラン数学科で学んだ人の限界だろうwww(^^ (参考) https://www. アマゾン.co.jp/dp/B07916DQ98 方程式のガロア群 深遠な解の仕組みを理解する (ブルーバックス) Kindle Edition by 金重明 (著) 内容(「BOOK」データベースより) 19世紀前半、フランスの天才数学者エヴァリスト・ガロアが方程式に関して行った考察は、 その後の数学や物理学の発展に重要な役割を占めることになりました。 方程式の解の関係性を表すガロア群。 具体的な方程式のガロア群を計算することで複雑に見えていた解の構造が浮かび上がります。 - Publisher : 講談社 (January 16, 2018) >>214 補足 >>上記の似非集合は、無限降下列をもつので、基礎の公理に真っ向から反します。 >・基礎の公理は、∈による無限降下列のみを禁止する。つまり、∈による無限上昇列は禁止していない > 禁止しているのは、底なし沼のような、∈による無限降下列 ・建物に例えて言えば、”∈”を使って建物を建てるみたいな ・で、基礎の公理の「基礎」というのは、建物の基礎を意味する ・建物を、”∈”を使って、上に高く伸ばしていくのは可(超限回)で、それは当然無限を許容している。∵ そうしないと、無限集合の構成で困る ・一方、禁止されているのは地下深く伸ばすこと。地下深く無限に伸ばすのはダメだというのが、基礎の公理の意味(下記の”0”が最下層) ・詳しくは下記などご参照(^^ (参考: 特に「V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している」(0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラス)) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86 正則性公理(せいそくせいこうり、英: axiom of regularity)は、別名基礎の公理 定義 V=WF ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。 ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。 >>214 > 前に(旧ガロアすれで)教えたのに、 > また同じところで間違える それ、雑談君ねw >>216 >>ノイマン構成で >>Φ={} =0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈N >>(自然数の集合で加算無限の濃度を持つ) >>これは可だ > Nの一つ前の項を答えて下さい そう、それ! 前にも雑談君に言ったけど ものの見事に無視したね やっぱり誤りだと認識しないと いつまでも同じ誤りをおかすねえ Nをシングルトンだと決めつけた場合 x∈N となるxは存在しないんだよね だって{x}=Nになるから、x=N-1になっちゃうけど それってNが極限順序数であることに反するからねえ どうしてそんな初歩的誤りから抜け出せないのかねえ やっぱり定義から物事を考える論理的思考を一切せずに 「カッコの数=順序数!!!」とかいう 動物的な反射行動しかしない(できない)からなんだろうねえ 大阪大学卒が聞いて呆れるねえ (哀れな老人氏は無限を一切認めないけど、 思考は雑談君よりはるかに論理的だからねえ やっぱり京大卒は賢いんだねえ) >>217 >数学科の講義では、 >”ガロア理論については、 >「5次以上の方程式が、代数的に解けない」 >(代数的に解けない=ベキ根だけ使ったのでは解けない、の意味) >という命題を最高到達点とするのが、精一杯だ ふーん、工学部卒は、理学部数学科についてそういう妄想してるんだぁ ガロア理論は、代数体の研究のために学ぶのであって 「五次以上の方程式の解の公式の非存在」とかいうのは 「定規とコンパスによる一般角の三等分の不能性」と同じく 付録に過ぎないんだよね >方程式の解の関係性を表すガロア群。 >具体的な方程式のガロア群を計算することで >複雑に見えていた解の構造が浮かび上がります。 なんか、いつもおんなじような文章を 飽きもせずにコピペしてるけど 意味、全然わかってないよね? あのね、解によってはガロア群は対称群より小さくなるよ それが「解の構造」ってやつね 意味、分かる? >金重明 この人、数学者じゃないよね 最近ガロア理論に関する一般人の著作を目にするけど なんか目標がいつも判で押したように 「五次以上の方程式の解の公式の非存在」 なんで残念だなあと思ってる そういう意味でいうと、巨大数論は面白い 証明論と全く無関係に構成的順序数が出てくるからねえ 素人なんだから、数学者の過去の戯言と一切無関係に 自分の興味のみから数学の理論を語ってほしいよね そうでなければ、素人が語る意味、ゼロだよね ゼロ >>218 >建物を、”∈”を使って、上に高く伸ばしていくのは可(超限回) (超限回)がダメね。 どんな集合も、有限回の∈降下で空集合{}に至る。 それが基礎の公理の真意。 >(0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラス) これ、正確にはウソね 例えばV_ωは、 0(={})にベキ集合の演算を「無限回」繰り返して得られる集合 ではないよ 任意有限回繰り返して得られる集合の和だから (上記の集合を得るには無限公理と置換公理が必要) 定義を一切読まずに、見た目だけで脊髄反射する 動物的な行動しかしないからいつまでたっても 人間(=大学以上)の数学が理解できないんだよ おまけ >神は「光あれ」と言われた。すると光があった。 ということでこの曲 四番目の光 VIDEO
>>222 ちっ、ゾロ目とられたw ・・・想像だけど、雑談君は、ωは集合でなくてもいいと思ってるのかもw ただその場合 0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・ の先にある「∈ω」の意味が全くなくなるけどねw 雑談君の恥ずかしいところは 「いつも上から目線でドヤ顔で語るが どれもこれも初歩から間違ってる」 ってことかな さすが、大学1年の4月で数学につまづいて おちこぼれるだけのことはある 要するに不遜かつ尊大で、謙虚さがないから 何も学べないんだな
ガロアにばかり固執する雑談君に質問 「オイラーの等式 e^iπ+1=0 の現代数学における意味を答えよ」 個人的には「exp(2πi)=1」の方が意味が明確だと感じるけどね
こんなんでいいんじゃない 『ガロアに出会う』のんびり数学研究会 著(数学書房) 第I部 1章 プロローグ 2章 集合と写像 3章 群 4章 複素数と方程式 5章 多項式 第II部 1章 べき根で表わせるとはどういうことか 2章 代数性,最小多項式 3章 ガロア拡大とガロア群 他
代数系入門 松坂和夫 群・環・体・ベクトル空間などの代数系は,集合・位相空間と並ぶ現代数学の基礎的概念.整数を素材として代数的手法のモデルをみることから始め,抽象的な代数系の一般論に進む.『集合・位相入門』に続き,高校数学を修めた初学者が無理なく現代数学の基礎を身につけられる.長年にわたって支持されてきたロングセラーの新装版. 内容 第1章 整数 第2章 群 第3章 環と多項式 第4章 ベクトル空間,加群 第5章 体論 第6章 実数,複素数 付 録 自然数
代数学1 群と環 桂 利行 著 内容紹介 現代数学の基礎となる群と環.その初歩を,東京大学理学部数学科で行われている講義「代数学I」のシラバスに基づきつつ,具体例を交えてわかりやすく解説.テーマをしぼり,コンパクトにまとめる新しい教科書シリーズの第1冊目.演習問題も多数. 主要目次 はじめに 第1章 群の理論 群の定義/部分群/いろいろな群の例/剰余類と剰余群/準同型写像と 準同型定理/直積/共役類/可解群/シローの定理/章末問題 第2章 環の理論 環の定義/部分環と直積/多項式環/イデアルと剰余環/準同型写像/ 一意分解整域/素イデアルと極大イデアル/単項イデアル整域/商体/ 素体と標数/単項イデアル整域上の多項式環/章末問題 問題の略解/参考文献/索引
代数学2 環上の加群 桂 利行著 内容紹介 ベクトル空間の一般化である環上の加群は,数学を学ぶ学生にとって必ず身につけておくべき基礎知識である.本書は,その理論について,具体例を交えていねいに解説.理解を確実にし,さらに進んだ内容を学びたい読者のために,演習問題も多数. 主要目次 第1章 環上の加群の基礎 環上の加群の定義/準同型写像と準同型定理/直和と自由加群/完全系列/単因子論/有限生成アーベル群の基本定理 第2章 テンソル積とテンソル代数 テンソル積の定義/テンソル積の性質/テンソル代数/交代代数と対称代数/射影加群 第3章 有限群の表現論 群の表現/完全可約/シューアの補題とマシュケの定理/指標/指標の第2直交関係 第4章 ネター加群 ネター加群の基礎/クルル・レマク・シュミットの定理/ウェッダーバーンの構造定理
代数学3 体とガロア理論 桂 利行著 内容紹介 5次以上の方程式には根の公式は存在しない――数学の基本理論であるガロア理論は,学部数学科で学ぶ最も美しい理論のひとつである.さらに現在,抽象幾何学や暗号理論など様々な分野にも応用されている.その基礎を,初学者のためにわかりやすく解説. 主要目次 第1章 体の理論 拡大体/代数的拡大/分解体/代数的閉体/分離拡大体,非分離拡大体/体の同型写像/ガロア拡大/超越的拡大/章末問題 第2章 ガロア理論 ガロアの基本定理/ガロア群の計算例/円分体/トレースとノルム/有限体/巡回クンマー拡大/方程式のべき根による解法/2次方程式,3次方程式,4次方程式/定規とコンパスによる作図/作図問題の具体例/章末問題 第3章 ガロア理論続論 代数学の基本定理/正規底/ガロア・コホモロジー/クンマー拡大/アルティン・シュライアー拡大とヴィットの理論/章末問題 参考文献/章末問題の解答/索引/人名表
>>19 遠隔レスすまん(^^ > 4.5次以上の対称群は可解性を有しない。 >アーベル-ルフィニの定理 - Wikipedia > 5.したがって、5次以上の代数方程式は一般的にベキ根で解けない。 高木貞治『代数学講義』が手元にある 第7章 不可能の証明 五次以上の方程式の代数的解法の不可能 この後に、高木貞治が書いている P206「現今の体の論では一層広汎な定理の特別の場合として、きわめて手軽に出してしまう。 飛行機から登山の跡をみさせるようなものである。ここでは大掛かりの準備をしないで、最初の踏破者の足跡を追ってみたのである。 それは無用ではあるまいと思われる。」と 高木貞治では、わずか10数ページでこの定理を扱っている 確かに、ガロア理論で「飛行機から登山の跡をみさせる」のは良いとして、ガロア無しで16ページで処理できるアーベルの定理が Fラン数学科では、ガロア理論の最高到達点で、終わっちゃったんだよね、多分ね。なんだかねぇ〜、Fランはショボイな w(^^; (参考) https://ja.wikisource.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%AC%9B%E7%BE%A9 『代数学講義』作者:高木貞治 目次 6 三次および四次方程式 7 不可能の証明 不可能の証明 五次以上の方程式の代数的解法の不可能 前節の続き,証明の根拠 つづき >>236 つづく https:// アマゾン/dp/4320010000 代数学講義 改訂新版 Tankobon Hardcover ? November 25, 1965 by 高木 貞治 Customer reviews ido Reviewed in Japan on April 11, 2018 4.0 out of 5 stars 大学の[代数学]ヌキで5次方程式の*解けない*事情が分かる本。ただし大学の[代数学]という科目の教科書として使うのはムリかも 5次方程式の解の代数的構成(=いわゆる"根の公式")が存在しないことの説明を、現代の[代数学]にはいっさい触れないで(だからガロワの理論もナシで)聞くために使う、というのがいいと思います 現代の教科書や授業では、"ガロワ理論の基本定理によってS5は非可解。したがってただちに明らか(^_^;)"で(ほとんど一瞬で)導いてしまいます。でも、この本ではそうしないで、じかに方程式(正確にはその解)のコトバだけを使って説明してくれます(アーベルが使った方法によるものらしいです) (現代の)代数学はなるべく避けて通りたいのなら、ふつうの(現代の)教科書(やもしかすると一般向けの解説書も)よりもこっちの本の方がありがたいのではないかと思います 当然話しは長くなりますが。とはいってもこの本なら大筋5ページ+予備定理の証明6ページだけです。もし今風にガロワ理論の基本定理の説明と、S5が可解でない理由(っていうか可解って何よ)の説明をきちんと学んでいたら、たぶん数学科2年前期の単位が1科目取れちゃうぐらいの内容を学習してもらわなければならないでしょう (引用終り) 以上 代数学1 群論入門 雪江 明彦著 内容紹介 大学で学ぶ代数学シリーズの第1冊目。代数学の基礎である群論を、初学者に多い誤りに注意しながら親切に解説。 目次 第1章 集合論 1.1 集合と論理の復習 1.2 well-definedと自然な対象 1.3 選択公理とツォルンの補題 1.4 集合の濃度 第2章 群の基本 2.1 群の定義 2.2 環・体の定義 2.3 部分群と生成元 2.4 元の位数 2.5 準同型と同型 2.6 同値関係と剰余類 2.7 両側剰余類 2.8 正規部分群と剰余群 2.9 群の直積 2.10 準同型定理 第3章 群を学ぶ理由 3.1 3次方程式と4次方程式の解法 3.2 なぜ群を学ぶか 3.3 群のどのような性質を調べるか 第4章 群の作用とシローの定理 4.1 群の作用 4.2 対称群の共役類 4.3 交換子群と可解群 4.4 p群 4.5 シローの定理 4.6 生成元と関係式 4.7 位数12の群の分類 4.8 有限アーベル群 4.9 交代群 4.10 正多面体群
代数学2 環と体とガロア理論 雪江 明彦著 内容紹介 大学で学ぶ代数学シリーズの第2冊目。環、加群、体からガロア理論までを、豊富な例と丁寧な解説で明快に解き明かす。 目次 第1章 環論の基本 1.1 環の定義と準同型 1.2 多項式環・整域 1.3 部分環とイデアル 1.4 剰余環 1.5 dual numberの環と微分 1.6 環の直積 1.7 素イデアル・極大イデアル 1.8 局所化 1.9 可換環と代数幾何 1.10 非可換環と表現論・整数論 1.11 一意分解環・単項イデアル整域・ユークリッド環 1.12 正規環・既約性の判定 1.13 ネーター環・アルティン環 第2章 環上の加群 2.1 行列と線形方程式 2.2 行列式 2.3 環上の加群とベクトル空間 2.4 部分加群と準同型 2.5 準同型と表現行列 2.6 GLn(Z/mZ) 2.7 有限性 2.8 組成列 2.9 ネーター環上の加群 2.10 テンソル積 2.11 双対加群 2.12 単項イデアル整域上の有限生成加群 2.13 完全系列と局所化
第3章 体論の基本 3.1 体の拡大 3.2 代数閉包の存在 3.3 分離拡大 3.4 正規拡大 3.5 有限体 3.6 無限体上の多項式 3.7 単拡大 第4章 ガロア理論 4.1 ガロア拡大とガロアの基本定理 4.2 対称式と交代式 4.3 終結式・判定式 4.4 3次方程式と4次方程式 4.5 3次多項式のガロア群 4.6 ガロア拡大の推進定理 4.7 円分体 4.8 作図問題 4.9 クンマー理論 4.10 方程式の可解性 4.11 正規底 4.12 トレース・ノルム 4.13 ヒルベルトの定理90 4.14 クンマー理論再考 4.15 アルティン-シュライアー理論 4.16 4次多項式のガロア群 4.17 代数学の基本定理
>>219 (引用開始) >>216 >>ノイマン構成で >>Φ={} =0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈N >>(自然数の集合で加算無限の濃度を持つ) >>これは可だ > Nの一つ前の項を答えて下さい そう、それ! 前にも雑談君に言ったけど ものの見事に無視したね (引用終り) なんだかな〜www(^^ 1.ペアノの公理、後者関数をもって、自然数全てを構成できる 2.自然数全て集めて、自然数の集合Nができる。これが最初の加算無限集合 3.ZFCでは、標準的にノイマン構成を使う(>>214 ) 4.ノイマン構成に限らないが、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数ωは、繰り返すが極限順序数です。”後続順序数ではない!”順序数ですwww(下記ご参照) ωも、そしてNにも、前者はないよね カントール先生を読みましょう〜!(^^ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 極限順序数(きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal)は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。あるいは、順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。 例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数(つまり自然数)n が常にそれよりも大きい別の自然数(なかんずく n + 1)を持つから、極限順序数である。 >>242 >ωも、そしてNにも、前者はないよね じゃあ >Φ={} =0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈N なる列は存在しないですね ・・で誤魔化してるけど Φ={} =0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈x∈N としたとき x は存在しないんでしょ?そう言いましたよね? x が存在しないなら Φ={} =0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈x∈N も存在しないよね? はい、間違いを認めましょーね?
>>208 >キミの考える「天地創造」では、有限集合しか定義できてない。 >つまり自然数の集合Nは存在しない >これを存在させるには無限公理を設けるしかない ”無限公理を設けるしかない”は、”一階述語論理では”だな (”レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる”(下記)) そして、基礎論ZFCでは、一階述語論理を使う だから、”無限公理を設けるしかない” つまり空集合Φ={}から始めて、一階述語論理で無限集合をハッキリ証明するのは無理で(デデキントが失敗したらしい)、そのため無限公理が必要だと でも、ちょっと思想が古い(20世紀)かな? 21世紀はZFCマンセー!じゃないよ 人は普段の日常数学では、一階述語論理に制限されないし、圏論とかいろいろ それに、(一階述語論理に制限されないからこそ)人類は古代ギリシャ時代から”無限”を考察してきた( or できた)のだし カントールの無限集合論には、無限公理は存在しない (二階述語論理と無限公理を仮定しない理論については下記を) (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86 二階述語論理 二階論理の表現能力 二階述語論理では、「ドメインは有限である」とか「ドメインは可算無限集合の濃度である」といった文も形式的に表現可能である。 ドメインが有限であるというには、そのドメインから同じドメインへの全ての単射関数が全射であることを論理式で表せばよい。 ドメインが可算無限集合の濃度であることをいうには、そのドメインの任意のふたつの無限部分集合間に全単射があることを論理式で表せばよい。 一階述語論理ではこれら(「有限集合であること」や、「可算集合であること」)を表現できないことが、レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる。 つづく >>246 つづき ”無限公理を仮定しない理論も同様に扱かうことも可能である”とあるよ https://researchmap.jp/read0078210/published_papers/14775904/attachment_file.pdf 科学基礎論研究Vol.800, No.800 (2018) 数学と集合論 ?ゲーデルの加速定理の視点からの考察? 渕野昌 0. はじめに 以下で,ゲーデルの加速定理の数学に与えるインパ クトについて考察する. P803 2. 準備 ここでは,自然数の概念が(von Neumann の順序数 の定義の特別な場合として) 導入できる程度以上の強 さを持つ(弱い) 集合論の体系とその様々な拡張を扱か う(これらの拡張の中には通常の集合論の公理系ZFC やこれに更に様々な巨大基数の存在公理やMartin’s Maximum など知られている強い公理のいくつかを付 け加えて得られる体系なども含まれる).無限公理を 仮定しない理論も同様に扱かうことも可能である (引用終り) 以上 >>246 じゃあ無限公理を仮定せずに無限集合の存在を証明してみて >>221 >>建物を、”∈”を使って、上に高く伸ばしていくのは可(超限回) >(超限回)がダメね。 >どんな集合も、有限回の∈降下で空集合{}に至る。 >それが基礎の公理の真意。 あらら、恥ずかしいやつ ”どんな集合も、有限回の∈降下で空集合{}に至る。 それが基礎の公理の真意。” か、おサルはほんと基礎論弱いね〜(^^ そんなこと書いている本とか、どこにも無いよ 例えば、下記の時枝 箱入り無数目より 「箱が可算無限個」 実数列の集合 R^N s = (s1,s2,s3 ,・・・)∈R^N これから、加算無限長の自然数列 (1,2,3 ,・・・)∈N^N が出来る ここに、ノイマンの自然数構成(>>214 )を適用して 1,2,3 ,・・・ ↓ 1∈2∈3∈・・・∈N となる∈の無限上昇列ができる 定義より、”1∈2∈3∈・・・”は 加算無限長ですよ(^^ これは、当然基礎の公理には反しない ∵降下列ではなく、上昇列 w(^^ (参考) 箱入り無数目を語る部屋 http://2chb.net/r/math/1609427846/1-2 箱がたくさん,可算無限個ある.箱それぞれに,私が実数を入れる. 実数列の集合 R^Nを考える. s = (s1,s2,s3 ,・・・),s'=(s'1, s'2, s'3,・・・ )∈R^N >>248 >じゃあ無限公理を仮定せずに無限集合の存在を証明してみて 素数の集合をPとする Pは無限集合である by ユークリッド (ユークリッドが無限公理なんて知るわけないわなw) ほかにもあるらしいよ 無限公理なんか、関係ないよ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0 素数 4 素数の個数 4.1 ユークリッドによる証明 4.2 他の証明 素数の個数 詳細は「素数が無数に存在することの証明」を参照 素数が無数に存在することは既に古代ギリシア時代から知られていて、ユークリッドが彼の著作『原論』[10]の中で証明している。 >>250 逆だろ? 基礎論以外のプロ数学者は、普段ZFCなんて使ってないだろ? だから、おサルは落ちこぼれたんじゃね? 普段の数学にZFC持ち込んだりしたのかな?(^^ >>247 >”無限公理を仮定しない理論も同様に扱かうことも可能である”とあるよ じゃあ>>248 に答えられるよね? >>249 >1∈2∈3∈・・・∈N >となる∈の無限上昇列ができる 無限列には最後の項は存在しませんw 存在したら有限列ですw 実際あなたは「Nの直前は何?」から逃げ続けてますよね? >定義より、”1∈2∈3∈・・・”は >加算無限長ですよ(^^ その無限上昇列には最後の項が無いよね。 だから逆に辿って無限下降列とはできないよね。初項が無いんだからw だから >どんな集合も、有限回の∈降下で空集合{}に至る。 >それが基礎の公理の真意。 に対するなんの反論にもなってないんだけどw >箱がたくさん,可算無限個ある.箱それぞれに,私が実数を入れる. >実数列の集合 R^Nを考える. >s = (s1,s2,s3 ,・・・),s'=(s'1, s'2, s'3,・・・ )∈R^N はい、「・・・」で終わっており、最後の項が書かれてませんね。 当たり前です、無限列に最後の項なんて無いのだからw >>251 >素数の集合をPとする >Pは無限集合である by ユークリッド (ユークリッドが無限公理なんて知るわけないわなw) >ほかにもあるらしいよ >無限公理なんか、関係ないよ え??? ZF公理系は素数どころか自然数すら、いや0ですらその存在を謳ってないんだけど。 素数pとは二つの自然数の積で表す方法が p×1、1×p に限られる0,1以外の自然数のことだから、 素数全体の集合を定義するには、最低限自然数全体の集合NとN上の積の定義が必要なんだけど。 で、Nを構成するには無限公理が必要って話をしてるんだけど。 頭だいじょうぶ? Nを自然数全体の集合としたとき、方程式 x∈N の解は自然数。 したがって、N∋x∋…∋1∋0 の形の列は有限列。 したがって、Nは正則性公理に適合する。 一方 >ω:={{・・・{}・・・}}({}が加算多重になった集合と定義する。nは自然数Nの全てを渡る) なるωを仮に集合と見做すと、一番外側のカッコを外したものもω、つまりω={ω}だから、ω∋ω∋… なる無限下降列を持つ。 したがって正則性公理に違反する。 なんでこんな簡単なことが分からないの? 脳に欠陥でもあるの?
>>242 >>ωも、そしてNにも、前者はないよね ああ、私は初めからそういってるよ 一度も、ωやNに、前者があるとはいってない >>244 >じゃあ >>Φ={} =0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈N >なる列は存在しないですね そうなんだよ 最後の”∈N”はない Nの前者が存在しないんだから しかし、この簡単極まりないことを どうしても、雑談君は理解したがらない 大学1年4月の挫折が、自分の不遜さにあることを決して認めようとしない だからどうしても数学の定義を理解するという最初の壁が乗り越えられない 実に哀れとしかいいようがない >>249 >ノイマンの自然数構成(>>214 )を適用して >1,2,3 ,・・・ > ↓ >1∈2∈3∈・・・∈N >となる∈の無限上昇列ができる 一か所重大な間違いがあるw 正しくは以下の通りだ 「ノイマンの自然数構成(>>214 )を適用して 1,2,3 ,・・・ ↓ 1∈2∈3∈・・・ となる∈の無限上昇列ができる」 どこが違うか分かるかい? そう!最後の ”∈N” がないね ノイマンの自然数構成s(x)=x∪{x}だけでは、 Nはできないんだな >>254 もそう書いてるだろう? みんなわかることが、どうして雑談君には理解できないのかな? >>246 >カントールの無限集合論には、無限公理は存在しない >(二階述語論理と無限公理を仮定しない理論・・・) >>248 >無限公理を仮定せずに無限集合の存在を証明してみて >>251 >素数の集合をPとする >Pは無限集合である by ユークリッド をひ! カントールの無限集合論、どうした?www 二階論理、どうした?www 自然数論は有限集合論で論じられる つまり、”自然数全体の集合”は必要ない その場合、素数の全体はクラスとなる ユークリッドの証明もそういう形で理解される ところで、これから雑談君を「二階クン」と呼んであげようかw 都合が悪くなると「二階論理ガー」と言い出す君にピッタリだろ? な、二階クンw >>247 >”無限公理を仮定しない理論も同様に扱かうことも可能である”とあるよ 雑談君、日本語読み間違ってるよ フッチーノは、 「無限集合を仮定しない理論でも自然数全体の集合の存在が示せる」 なんていってない 「無限集合を仮定しない、つまり自然数全体の集合が存在しない理論でも、 同様に扱かうことも可能である」 といっている 日本語が読めないんじゃ、数学は無理だね(バッサリ) どうも雑談君あらため二階君は 「二階論理では、無限集合の存在が証明できる」(キリっ) と思ってるらしいけど・・・それ誤解w 有限と無限の区別を「確定」させるには二階論理が必要、といってるだけだよ (「確定」というのは、非標準モデルを排除する、という意味) ちなみに、二階論理は完全性(つまり任意のモデルで成立する命題が証明可能) を有しないので、ありがたくない 一階論理は完全性を有するからありがたい その性質を活用するために、「非標準モデル」を受け入れるのは仕方ない
正則性公理に適合するようにツェルメロ構成でωを作るとすれば、やはり 1.{}∈ω 2.x∈ωならば、{x}∈ω の2条件を満たすようなωにするしかない 必然的にωはシングルトンではなく無限集合になる ここで、シングルトンか否かは、有限/無限の区別ではなく 後続順序数か否かの区別であることを理解すべき 例えばω+1は{ω}だからシングルトン 一方ω+1は有限順序数(つまり自然数)ではない
>>257 >そうなんだよ 最後の”∈N”はない >Nの前者が存在しないんだから こいつら、ほんと学習しないね 旧ガロアすれでも書いてやったのに(^^ 繰り返しだなw 下記「自然数全体(離散位相)N の一点コンパクト化はNに最大元ωを付け加えた順序集合N∪{ω}の順序位相と同相になる」を味わって読んで下さい。ωを加える後も前もどちらも、Nは無限集合である(^^ 複素平面の一点コンパクト化であるリーマン球面(下記)で、P (∞)で、あなた方のいう直前とか直後に類する点は存在しないよ だが、球面と同相だよ! 後述の実数直線のコンパクト化(円周 S1 と同相)に同じ(ここが分からんみたいだがw) P (∞)の直前とか直後に類する点が存在しないから、”隙間”できるみたいにイメージしているようだね。それ間違いだよww(^^; https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96 コンパクト化 コンパクト化(英: compactification)は数学の一分野である位相空間論(英: general topology)の概念である。 一点コンパクト化の例 ・n次元ユークリッド空間 R^n の一点コンパクト化は、n次元球面S^nと同相である。特にリーマン球面^Cは複素平面Cの一点コンパクト化として与えられる。 複素平面の一点コンパクト化。複素数 A を埋め込み写像P により球面(リーマン球面と呼ばれる)の上の一点 α に写す。図でP (∞)と書かれている部分が無限遠点である。 ・自然数全体(離散位相)N の一点コンパクト化はNに最大元ωを付け加えた順序集合N∪{ω}の順序位相と同相になる。 つづく >>263 つづき 無限および無限大の知識が貧弱だね(^^ 下記「実数直線にただひとつの無限遠点を加えてコンパクト化できる」(同様の概念に、無限大を加える下記の拡大実数の概念がある。無限大±∞を加える後も前もどちらも、実数は無限集合である。) 直前とか直後に類する点は存在しないから、隙間ができる? だったら、実数直線にただひとつの無限遠点を加えてコンパクト化できて、円周 S1 と同相にできるが間違いになるよね。隙間できるから https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E7%9B%B4%E7%B7%9A 実数直線 実数直線にただひとつの無限遠点を加えてコンパクト化できる。(円周 S1 と同相) 位相的な性質 位相空間としては、実数直線は開区間 (0, 1) に同相である。 実数直線は明らかに一次元の位相多様体である。同相の違いを除いて、境界のない一次元多様体は二種類しかなく、実数直線 R1 のほかは円周 S1 である。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0 拡大実数 拡張実数(かくちょうじっすう、英: extended real number; 拡大実数)あるいはより精確にアフィン拡張実数 (affinely extended real number) は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 -∞ の二つを加えた体系を言う。新しく付け加えられた元(無限大、無限遠点)は(通常の)実数ではないが、文脈によってはこれらを含めた全ての拡張実数を指して便宜的に「実数」と呼ぶこともあり、その場合通常の実数は有限実数と呼んで区別する[1]。拡張実数の概念は、微分積分学や解析学(特に測度論と積分法)において種々の函数の極限についての記述を簡素化するのに有効である。(アフィン)拡張実数全体の成す集合 R ∪ {±∞} は、その上の適当な順序構造や位相構造などを持つものとして補完数直線(ほかんすうちょくせん、英: extended real line; 拡張実数直線)と呼ばれ、R や [-∞, +∞] と書かれる。 つづく >>264 つづき ・要するに、あなた方の数学の知識が貧弱(中学レベル) ・ZFCからさらに進んで、高い立場から無限を考えないと (ZFCを作った人たち、みんな19世紀から20世紀初頭のすでにある数学を念頭にZFCを作っているんだよ。同じレベルに立たないと) ・その視点が欠落しているから、「ωの直前がない!」とかうろたえる ・リーマン球面のP (∞)(上記)に、直前直後あるいはすぐそばの点は存在しない。でもP (∞)ただ1点を加えることで、コンパクト化できて、球面と同相になるよ (中学生レベルには難しいだろうが) 以上 >>226 exp(0π・i) = 1 が更に明確だと思う ∵exp(0) = 1 虚数iに0をかけると実数0になる という定義に上手く一致する。 i同士をかけても実数になるから、 i=0という意味でもありそうだ、モピロン 「愛は存在しない」という意味を オイラに、オイラーは教えてくれた by 👾の感想文 >>242 >>>Φ={} =0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈N >>257 >>最後の”∈N”はない >>Nの前者が存在しないんだから >>263 >こいつら、ほんと学習しないね 学習しないのは、雑談君、君だよ、キ・ミ >「自然数全体(離散位相)N の一点コンパクト化は > Nに最大元ωを付け加えた順序集合N∪{ω}の順序位相と同相になる」 >を味わって読んで下さい。 ん?なんで一点コンパクト化するの? 無限列は、R^Nだよ R^(N∪{ω})ではないよ NとN∪{ω}が全く異なる集合であることは理解できてるかな?雑談君 >ωを加える後も前もどちらも、Nは無限集合である 濃度が同じだから同じ集合だと思ってる? NとN∪{ω}は、整列順序集合としては全く異なりますよ R^Nといってるんだから、R^Nでのみ考えてくださいね R^(N∪{ω})とか捏造しないでくださいね オボカタハルオじゃないんだからw 雑談君はどうも正真正銘の🐎🦌らしい・・・ >>264 >無限および無限大の知識が貧弱だね 無限および無限大の知識が間違ってるね 雑談君 なんで、なんでもかんでも1点コンパクト化するのかな? コンパクト化しないと集合じゃないと思ってる? コンパクト化が「数学の正義」だと思ってる? コンパクト🐎🦌? >>265 >高い立場から無限を考えないと 雑談君、高いところ大好きだねw おサルさん?w >リーマン球面のP (∞)(上記)に、直前直後あるいはすぐそばの点は存在しない。 >でもP (∞)ただ1点を加えることで、コンパクト化できて、球面と同相になるよ。 複素平面Cとリーマン球面Pが、異なることは理解してるかな? ついでに言うと、複素平面Cと単位円盤Dも異なるよ あのね、全部非可算無限だから同じ集合とかいったら 正真正銘の🐎🦌だよw ついでにいうと、 複素平面Cと単位円盤Dは同相だけど、複素解析的には同値ではないよ 単位円盤Dと上半平面Hは複素解析的に同値だけどね (複素解析的に同値、というのは両者間の複素解析的全単射が存在するという意味) だから複素解析で、Cを勝手にPとかDとかHとかにすり替えたらアウトだよ わかるかな?雑談君ことオボカタハルオ君www >>249 追加 時枝氏の可算無限個の箱(下記)で 実数列の集合 R^N s = (s1,s2,s3 ,・・・)∈R^N から、加算無限長の自然数列 (1,2,3 ,・・・)∈N^N を使って、ツェルメロのシングルトンによる自然数の構成(下記)(特に加算多重シングルトン(>>205 ))を考えてみよう 1.可算無限個の箱の列 □1,□2,・・□n,・・ ( n∈N) を作る。nは全てのNを渡る。∵箱は可算無限 2.逆向きの列 ・・□n,・・□2,□1 も可能 3.両方を合わせて、・・□n,・・□2,□1 {} □1,□2,・・□n,・・ とできる(間に {}を置いた) 4.左の箱を"{"で、右の箱を"}"で置換すると ・・{n,・・{2,{1 {} }1,}2,・・}n,・・ とできる 5.添え字と”,”(カンマ)を取ると ・・{・・{{{}}}・・}・・ とできる。明らかに{}が、加算多重になっている この場合、最外層{}なるものは存在しないが、なんの不都合もない 6.さらに、3項で左右の無限個の箱の列を入れ換える □1,□2,・・□n,・・ {} ・・□n,・・□2,□1とできる 7.上記4,5と同様にして {{・・{・・ {} ・・}・・}}とできる。明らかに{}が、加算多重になっている この場合、最外層{}なるものは存在するが、本質は上記6同様 (なお、最内層の{}が添え字 n・・を消す前の状態で「集積点」(下記)になっていると、考えることができる) ということで、時枝氏の可算無限個の箱を使って、 加算無限多重シングルトンが上記二つの方法で構成できた 一つは最外層{}が存在せず、一つは最外層{}が存在するが、どちらも加算無限多重シングルトンである つづく >>271 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9 集積点 集積点(しゅうせきてん、英: accumulation point)あるいは極限点(きょくげんてん、英: limit point)は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念。(X の位相に関する x の任意の近傍が x 自身を除く S の点を含むという意味で)S によって「近似」できる X の点 x を S の集積点と呼ぶ。このとき、集積点 x は必ずしも S の点ではない。たとえば実数 R の部分集合 S = { 1/n | n ∈ N } を考えたとき点 0 は S の(唯一の)集積点である。集積点の概念は極限の概念を適切に一般化したもので、閉集合や閉包といった概念を下支えする。実際、集合が閉であることとそれが自身の集積点を全て含むことは同値で、集合に対する閉包作用はもとの集合にその集積点を付け加えることによる拡大操作としても捉えられる。 定義 位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す。 この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である(この条件は、もとの定義が「開近傍」を用いて集積点の判定を行うところを、開に限らない「一般の近傍」を使って行うことができるので、しばしば有用である)。 極限点の種類 x を含む任意の開集合が無限に多くの S の点を含むとき、集積点 x を特に S の ω-集積点 (ω-accumulation point) という。 x を含む任意の開集合が非可算無限個の S の点を含むとき、集積点 x を特に S の凝集点 (condensation point) という。 X の点 x が点列 (xn)n∈N の密集点 (cluster point) であるとは、x の任意の近傍 V に対し xn ∈ V なる自然数nが無限に存在するときにいう。空間が列収束ならば、これは点列 (xn)n∈N の部分列で x を極限とするものがあることと同値である。 ネットの概念は点列の概念を一般化したもので、ネットに関する密集点の概念は凝集点と ω-集積点の概念をともに一般化するものになっている。集積および集積点の概念は同じようにフィルターに対しても定義することができる。 点列の密集点全体の成す集合は、しばしば極限集合と呼ばれる。 (引用終り) 以上 R^Nの尻尾の同値関係を、 勝手にR^(N∪{ω})にすり替えるのは 「定義のすり替え」という完全な不正行為です 雑談君は無意識に不正行為をやらかす 自己中心的サイコパスであることが はっきりいたしました まったくオボカタハルオというかコムロKというか どうしょうもない💩野郎ですね
>>259 >自然数論は有限集合論で論じられる >つまり、”自然数全体の集合”は必要ない >その場合、素数の全体はクラスとなる 頭が腐ってない? 「素数の全体はクラスとなる」? 初耳だよ 完全にアホだよなw そういう”アサッテ”の思考をするから 数学科で落ちこぼれたかな?w(^^; >>270 >・・{・・{{{}}}・・}・・ >明らかに{}が、加算多重になっている >最外層{}なるものは存在しないが、なんの不都合もない {}の数だけしか考えないって、論理が理解できないおサルさんかな?w ・・{・・{{{}}}・・}・・ は、最外層の{}がないので集合ではありません ということで、アトムになりますが、 そもそもこんなアトムが存在する根拠がありません ざんね~んw >{{・・{・・ {} ・・}・・}} >明らかに{}が、加算多重になっている >この場合、最外層{}なるものは存在する {}の数だけしか考えないって、論理が理解できないおサルさんかな?w {{・・{・・ {} ・・}・・}}は、外側に{}が無限個ある時点で 基礎の公理に真っ向から反するのでアウトですw >加算無限多重シングルトンが上記二つの方法で構成できた >一つは最外層{}が存在せず、一つは最外層{}が存在するが、 >どちらも加算無限多重シングルトンである 残念ですが、 前者は最外層{}は存在しないので、集合ではありません 後者は外層に無限個の{}が存在するので、基礎の公理に反し、集合ではありません どちらも、シングルトンではないですね ざんね~ん >>272 {}の集積点ってなんすかwww Nは「ノンコンパクト」なので、 点列1,2,3,・・・ の集積点は存在しません ざんね~ん 勝手に∞とかいう「集積点」を捏造して Nにつっこんだりしないでくださいね 雑談君w >>274 >「素数の全体はクラスとなる」? ええ、有限集合論ではね >初耳だよ 工学部卒の雑談君の見識がネコのヒタイ並みに狭いだけ 有限集合論知ってれば常識w >>217 追加 (引用開始) >ガロア理論については、理学部数学科を卒業した人以外にとっては >「5次以上の方程式が、代数的に解けない」 >(代数的に解けない=ベキ根だけ使ったのでは解けない、の意味) >ということを証明する理論としてしか認識されてないし 話は逆だろうな 1.Fラン数学科の講義では、 ”ガロア理論については、 「5次以上の方程式が、代数的に解けない」 (代数的に解けない=ベキ根だけ使ったのでは解けない、の意味) という命題を最高到達点とするのが、精一杯だw(^^; 2.一方、世間一般の通俗本では、 ”フランスの天才数学者エヴァリスト・ガロアが方程式に関して行った考察は、その後の数学や物理学の発展に重要な役割を占めることになりました。 方程式の解の関係性を表すガロア群。具体的な方程式のガロア群を計算することで複雑に見えていた解の構造が浮かび上がります。” ってことだけど、こんなことを、Fラン数学科では、講義できない!ww そんな講義をできるFランではない!!w(^^ 3.よって、冒頭の文の認識は、Fラン数学科で学んだ人の限界だろうwww(^^ (引用終り) 参考追加: 下記に、ガロアの遺稿を理解するために、現代数学につながる抽象代数学が整備されていった様子が記されている それがよく分かる ある大定理の証明に対して、定理そのものよりも、そこに使われた数学的諸概念の方が大事だという。ガロアの遺稿しかり 上記認識は、Fラン数学科落ちこぼれのおサルの限界だろうな 一方、世間一般の通俗本の方が、ここらはキッチリ記述されているよねw(^^ (参考) https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ ~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1513-5.pdf 数理解析研究所講究録 1513 巻 2006 年 46-51 代数学の基礎とデデキント* 赤堀庸子 (Yoko Akahori) つづく >>279 つづき 1 序 筆者は、デデキント (Julius Wilhelm Richard Dedekind,1831-1916) の 1850 年代のガロア講 義 ([1]) の位置づけを試みようとしてきて、 こうした壁にぶつかってきた。 その中で、 次第に確信 するようにな,2 てきたことがある。 それは、 素朴ではあるが、集合論的思考に注目する、 というこ とである。 19 世紀にはまだ集合論的思考は定着していないこと、代わりに彼らが依拠していたも のは、 当時の数学の基礎であったこと、 この両方を常に念頭におくことが不可欠ではないかと考え られるのである。 当たり前のようなこれらのことを、 うまく歴史叙述に取り入れていくのは簡単で はないが、 ここでは、 いくつかの話題 (商群ないし剰余類分解、体論) について述べておきたいと 思う。 2 代数学の基礎 現代代数学の体系においては、体概念よりも群概念の方が、 より基本的な存在であるが、 19 世 紀の文献では、 しばしば体概念の方が、 より基本的な存在として捉えられていた。 しかも、 群概 念も体概念も普及してきたと思われる 19 世紀末以降にも、そうした傾向が見受けられる。 Weber の “Lehrbuch der Algebra“ (1890 年代) では、体の理論が群の理論よりもはじめの方におかれてい る。 Bourbaki- の “Elements” の草稿段階においてさえ、 体の理論の方が先にきていたといわれて いる。 (Beaulieu [2],mathrm{p}.247.$ ) 19 世紀末には、群は数学全体にとって重要であることが認識されてはいたが、演算をひとつし かもたないがゆえにもっとも基本的なものであるとは認識されていなかったのではないか。 そもそも演算がひとつし かないからもっとも基本的であるという思考法は、 現代代数学の思考法そのものである。 つづく >>280 つづき 2.1 商群の概念 群の概念が次第に定着してきたこの時期、商群 (な いしは剰余類分解) の定式化が意外にうまくいっていないように見受けられるのである。 筆者が不思議に思ったのは、 このケイリーが晩年になって、ヘルダー (Otto Ludwig lmathrm{I}overline{mathrm{o}}mathrm{l}\mathrm{d}mathrm{e}mathrm{r},1859-1937) の論考にある G/H なる記号法を拒否していること、 のみならず、 1854 年論文の続きでも、 商群概念の理解についていちじるしく要領の悪いところをみせていることであった。 コーシーの著作の発表から 40 年が過ぎ、群概念も普及してきたと思われるこの時期に、 このよ うな図式が書かれているのは少し意外である。 2 次元的な広がりをもつ概念を、そのまま理解する ことが難しかったのだろうか。 これらと比べると、デデキントの仕事は (特に集合論的思考において) 優れたところを示してい る。 1850 年代後半に行われた代数学講義 [1] を少しみてみよう。 内容は、置換論、 ラグランジュの 方程式論、 ガロアの方程式論について自らの解釈で再編集をほどこしたものである。 第 1 節が置換論であり、 まず置換の?般的な説明、 そして置換の積の定義の説明がなされる。 デデキントは、積の基本的な性質として、結合律、簡約律が成り立つことを述べる。 (簡約律は、 元の個数が有限の場合は、現在の単位元の存在および逆元の存在、 と論理的に同値になる。) さら に興味深いことに、デデキントはこの二つの法則に公理的性格をもたせることができる旨の発言を している。 第 4 項において、群 (Gruppe) の語が現れる。 ここでは積で閉じた (置換の) 集まりが群である と定義される。 準備ののち、次の定理が証明される。 証明の方針はコーシーのものと同じである。デデキントは剰余類分解を次のように書き下してい る。 G=K+Ktheta_{1}+Ktheta_{2}+\cdots\cdots+Ktheta_{n-1} 剰余類分解の記述に、元たちを?括してとらえた記号を用いている点では、集合論的理解が非常 に進んでいるといってよいだろう。 (記号の説明もあらかじめきちんとしてある。) つづく >>281 つづき ここでデデキントは、商群という新しい概念を得るにあたって、第 2 項のおわりにある公理的な 思考を利用した。 同時に、 第 2 項の終わりに書き記した公理的思考法が、商群の概念を得ることに よって、 より確かなものとなったとみてよいだろう。 ここにあるのは、 まぎれもない集合論的思考 そのものであるといえる。 集合論の受容ということでしばしば話題にとりあげられるのは、無限をめぐる議論であろう。 も ちろん無限の問題は重要であるが、集合論的思考の普及を阻んだものが無限だけではないようにみ える。無限も含めて、集合 (かたまりで考えること ?2 次元的な思考法 ?) そのものを受け容れる ことに蹄躇があったように思える。 (ここでもまた、 リーマンのデデキントへの影響の可能性が浮 かび上がる。) 2.2 体 (K\"orPer) について 体の概念の歴史に関する筆者なりの注意については既に述べたが、 ここでデデキントが定義した 体 (K\"orper) について簡単にみておこう。 体 $(\mathrm{K}\tilde{\mathrm{o}}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r})$ が定義されたのは、デデキント『ディリクレ整数論講義付録 (1871)』の第 159 節 においてである。 体, というのは無限個の実または複棄数の総体で, それ自身完結していて完全であ るもの, すなわち任意の二数の加法, 減法, 乗法, 除法から同じ総体の数を生じるこ とをいう. このように、現在からみれば、数体よりも抽象的な対象が K\={o}rper の語に付与されていた。 しか し、それらを公開されず、結局数体の意味に限定されたものが発表された。デデキントの意図を理 解するには、 こうした経過をふまえておく必要があるだろう。 結局、体は、群に代数学における基本的地位を明け渡すことによって、現代代数学の確立に貢献 することとなる。 K\"orper の元の意味合いを考えれば、 これはいささか皮肉なことであるのかもし れない。 3 結び 歴史叙述がらみのコメントで終始してしまったが、大切なのは原典を読むことであるのはいうま でもない。デデキントの著作は、革新的でありながら、その語り口は丁寧である。 (引用終り) 以上 >>215 >前者は最外層{}は存在しないので、集合ではありません >後者は外層に無限個の{}が存在するので、基礎の公理に反し、集合ではありません ・後者の「基礎の公理に反し」が、間違いであることはすでに述べた (>>249 より ∈の無限上昇列は禁止されていない。当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ(全てが有限列になるよ!)w) ・で、前者を{}に入れて{前者}とすれば、加算無限多重シングルトンになる ・なお、おサルの「基礎の公理」の理解不十分。「基礎の公理」は、ZFCとして、基礎論の命題を証明するのに余計な集合を排除するためのもの(下記)です ・ZFCの外では、つまり日常の数学では、必ずしも「基礎の公理」を必要としていないし、Aczelの反基礎公理(下記)などもある ・結局、ツェルメロの加算無限多重シングルトンの存在は否定できていないよ!(^^; (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86 正則性公理(せいそくせいこうり、英: axiom of regularity)は、別名基礎の公理(きそのこうり、英: axiom of foundation) とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。 定義 空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。 以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。 Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。 ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。 正則性の公理は必ずしもZF公理系を拡張するために必要なものではないが、ある命題がZF公理系と独立であることを証明する際にその効果を発揮することがある。 つづく >>279 >赤堀庸子 あ、この人知ってる 大学の先輩だよw >>277 >>「素数の全体はクラスとなる」? >ええ、有限集合論ではね 意味わからん 素数の集合P(無限集合)をクラスする必要なんか、全くないよね 単に、無限集合として、有限集合論の外になるという理解で、 どんな不都合があるの?www それに、「有限集合論」ってなに? 確かに、無限を認めない有限主義の人いるけど (確かに、プログラミングでは、コンピュータ内部は有限だけど、無限を認めない有限主義の人とは多分違うよね) ハッキリ言って、 あなたのレベル、哀れな素人氏に弄んでもらうのがいいんじゃないですか?w(^^; >>285 ああ、そうなの? じゃ、ガロア理論のブログを添削してもらったどうだ?(^^; >>263 N∪{ω}でも話は>>256 と何ら変わらないですよ? 方程式 n∈N=ω の解nは自然数だから(これ、いいですよね?) 0∈1∈…∈n∈ω∈N∪{ω} の形の列は有限列ですよ? これのどこがいったいそんなに難しいんですか?簡単過ぎるほど簡単だと思うんですけど。 >>270 >2.逆向きの列 ・・□n,・・□2,□1 も可能 不可能です。 初項が無ければ列の定義を満たしません。定義を確認しましょう。 >>270 >一つは最外層{}が存在せず、一つは最外層{}が存在するが、どちらも加算無限多重シングルトンである どちらも集合ではありません。 前者は言うに及ばず。 後者は>>256 に示した通り正則性公理を満たさないので。 >>286 >意味わからん >それに、「有限集合論」ってなに? 無限公理がない集合論 雑談君 考えるのに必要な脳味噌、全然ないの? >>283 >>後者は外層に無限個の{}が存在するので、 >>基礎の公理に反し、集合ではありません >後者の「基礎の公理に反し」が、間違いであることはすでに述べた {{{・・・{}・・・}}}の場合、無限下降するからNG 無限上昇?なんだその幻聴はwww >前者を{}に入れて{前者}とすれば、加算無限多重シングルトンになる 前者そのものは集合でもなんでもないただのアトム そんなんなら、別にただのアトムaのみを要素とする集合{a}でも同じ ああ、雑談君、それでset {a}なんだねwwwwwww >>271 引用元は >ペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。 >例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、 の直前が 「他にも自然数の定義は無限にできる。これは」 となってますね。必要な部分を省かないで下さい。 0 := {}, suc(a) := {a} と定義した場合、任意の自然数すなわち有限順序数は定義可能ですが、極限順序数であるωを定義できるとは書いてませんね。 実際不可能です。理由は>>256 。 雑談君に問題 1.{{},{{}},{{{}}},…(任意有限重の{}によるシングルトン)・・・} は基礎の公理と矛盾するか否か? 理由つきで回答されたし 2.上記の集合に関する∈下降列の長さに最大値はあるか否か? 理由つきで回答されたし
>>274 >>自然数論は有限集合論で論じられる >>つまり、”自然数全体の集合”は必要ない >>その場合、素数の全体はクラスとなる >頭が腐ってない? >「素数の全体はクラスとなる」? >初耳だよ >完全にアホだよなw 恐らく「その場合」を読み落としてるだけと思われる。 相手の主張はしっかり読んで理解してから発言しましょう。 >>271 ペアノの公理には自然数全体の集合N(=ω)の存在は規定されてません。 (ペアノシステムはペアノの公理を満たす集合(及び最小元と後者関数の三つ組)のことですから、混同しないよう気を付けて下さい。) wikipediaより引用ここから ペアノの公理は以下の様に定義される。 自然数は次の5条件を満たす。 1.自然数 0 が存在する。←Nの存在を言ってない。 2.任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の "意味")。←Nの存在を言ってない。 3.0 はいかなる自然数の後者でもない(0 より前の自然数は存在しない)。←Nの存在を言ってない。 4.異なる自然数は異なる後者を持つ:a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。←Nの存在を言ってない。 5.0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。←「すべての自然数は・・・」と言ってるが、「Nが存在する」とは言ってない。 引用ここまで >>283 >・後者の「基礎の公理に反し」が、間違いであることはすでに述べた それが間違いであることはすでに述べた。 > (>>249 より ∈の無限上昇列は禁止されていない。当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ(全てが有限列になるよ!)w) 相手の主張をよく理解してから発言しましょう。 誰も無限上昇列を禁止していない。実際 0∈1∈… が存在する。そうじゃなく「"最後の項がある"無限上昇列は存在しない」と言っている。 一方、無限下降列は正則性公理で禁止されている。 なーんにも難しいこと言ってないんだけどなあw >>279 赤堀庸子さん、追加文献下記 赤堀庸子さん自身については、殆ど検索ヒットせず(京都数理研所属のときがあったようだが) (参考) https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo27/27_akahori.pdf デデキントの生涯(2)* 赤堀庸子 1 津田塾大学数学史 シンポジウム 2016109 1.3 18804手 代 クロネッカーの発言でもうひとつ 目を引くのは、『連続性 と無理数』について全 く言及 されていないことである。後述するパ リアカデミーで も似たような状況があ り、受け入れ られるのに時間を要 したことが窺える。 ちなみに、他の数学者がアカデミーに受け入れられた時期は、次のようである。(? p74) リーマン(1859)、 クロネッカー (1861)、 ハイネ(1863)、 ザイデル (1863)、 クリス トフェ ル (1868)、 クレプシュ(1868)、 リプシッツ (1872)、 シェリング (1875)。 https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo26/26_akahori.pdf デデキントの生涯 (1) *赤堀庸子1 *津田塾大学数学史シンポジウム. 2015.10.11 著作の出版の様子も変わっていて、まず 40代はじめに大部の「代数的整数論」(その他集合論関連の著作)が発表されて、それから後論文執筆活動が晩年まで続くといった形になっている。そのようにして一生をかけて集合概念に基づいた数学の構築に取り組んでいく。こうしたデデキントの人生について、一度振り返っておくことも無駄ではないと思われるので、本稿を起こした次第である。初めに、デデキントの生涯について、要点を振り返っておこう。1831 年にブラウンシュヴァイクに生まれる。ゲッティンゲン大学で 1850-58 年に数学を学ぶ。 つづく >>299 つづき (1854年からは、私講師として講義も行っていた。)当時のゲッティンゲンにはガウス (1777-1855)もいたが教育活動にはあまり熱心ではなく、私講師時代のディリクレ(1805-1859)の指導、リーマン(1826-1866) との親交が重要な影響を及ぼした。1858 年チューリッヒ高等工業学校に就職。1862年にブラウンシュヴァイク高等工業学校に赴任。以後同地(生地)で生涯を送る。著作の発表は、主に人生の後半期に集中している。1871年には整数論講義の第2版の付録にて、集合論的な概念に基づいた代数的整数論が発表された。翌1872年に『連続性と無理数』出版。こうした大きな著作を発表したあとの1870 年代後半あたりから、論文執 筆量が増加してくる。また、若い数学者たちとの文通も始まる。(ウェーバー、カントル、リプシッツなど。) ゲッティンゲン後期 (1854-58)1855年2月にガウスが亡くなり、後任としてディリクレが 1855年秋にゲッティンゲンに赴任する。これがデデキントに決定的な影響を与えた。回想 [7] によると、デデキントはすでにディリクレの著作を徹底的に読み込んでいたものの、強烈な口頭の講義に出席することに、大いなる喜びを感じたという。ディリクレの講義のすべて(数論、ポテンシャル、定積分、偏微分方程式)に出席した上、日々個人的にも親交を深めたことで、自分は全く新しい人間になった、とデデキントは述べている。またこの時期、デデキントはリーマンのアーベル関数、楕円関数の講義(1855-56年冬学期、1856年夏学期)に出席した。リーマンとの親交を深めるようになったのはこれがきっかけらしい。 1856/57 年冬学期と 1857/5年冬学期には、代数学講義が行われる。出席者は各2名で、前者は Hans Zincke (Sommer) (1837-1922), Paul Bachmann (1837-1920)。後者は EduardSelling , Arthur Auwers である。61854年から58年の4年間は、デデキントにとって、「先生や先輩に囲まれた充実した時間」であったといってよい。イデアルの着想もこの時期にさかのぼるようであるし、「切断」の発想もこの時期の直後であることを考えると、この時期はデデキントの数学思想にとってもっとも重要な時期であるといえる。 6 「後にウェーバーが『代数学』の序文で「ドイツで初めてのガロア理論の講義」と述べているものである。 (引用終り) 以上 >>286 >素数の集合P(無限集合)をクラスする必要なんか、全くないよね え??? 有限集合しか認めない立場の話をしてるのに無限集合を許容しちゃうの??? 君、コンテクストをぜんぜん認知できてないね。 コンテクストって分かる?コンテクストを正しく認知しないとデタラメになるよ? >>289 (引用開始) >2.逆向きの列 ・・□n,・・□2,□1 も可能 不可能です。 初項が無ければ列の定義を満たしません。定義を確認しましょう。 (引用終り) ご冗談でしょ?(^^ 単に箱の並びを、□1,□2,・・□n,・・ ( n∈N)とは、逆にしただけ □1から右に伸ばすのと 逆に、□1から左に伸ばすのと それだけの違いです ”不可能”? なんか勘違いでしょ >>301 >有限集合しか認めない立場の話をしてるのに無限集合を許容しちゃうの??? ご苦労さん 21世紀 2021年のいま、プロの数学者で、有限集合しか認めない立場の人いる? あなたは別としてw まあ、あなたも、哀れな素人氏に相手してもらうのが良さそうですねw(^^; >>286 >それに、「有限集合論」ってなに? >確かに、無限を認めない有限主義の人いるけど いや、君が suc(a)={a} の話を持ち出したのが発端なんだけどw 君、話の筋がぜんぜん認知できてないね。 >>303 >ご苦労さん >21世紀 2021年のいま、プロの数学者で、有限集合しか認めない立場の人いる? キレないで話の筋を正しく認知しましょう。 有限集合論でも自然数論を展開できるという話をしてるんですよ? 誰々がなになに主義であるとかないとか、そんな低俗な話じゃないですよ?w >>302 >ご冗談でしょ?(^^ 列の定義の確認が未だのようですね。 定義の確認を疎かにするのはあなたの悪い癖です。 >単に箱の並びを、□1,□2,・・□n,・・ ( n∈N)とは、逆にしただけ 逆にする手順を具体的に構成できますか? よかったな。MITがこの世の責任を立方数の和で表すってよ。 因みにフェルマーの最終定理はnが幾つでも解がある。 因みに五次方程式以降も解の式は存在する。
>>294 のような初歩の初歩に正答できないようでは公理的集合論を語る資格無しですね。 そういう自覚が無い人が何食わぬ顔で数学板に紛れ込んでるから困ります。 -1’(a+b+c...) ’は乗。 反転因子と呼ぶ。 私が作った。 表し方の一つの対称的な意味をもつ方法。
>>309 奇数偶数の話は言わなくていい。 いちいち言うな条件もわからないなら。 スルーされそうなので念押しときます >単に箱の並びを、□1,□2,・・□n,・・ ( n∈N)とは、逆にしただけ 逆にする手順を具体的に構成できますか? まずはこれだけしっかり答えてもらえますか?
>>309 因みに何か表したことは一度も無い。 そもそも使わない。使いたくもない。 有限列なら φ:{0,1,…,n}→{0,1,…,n} を φ(x)=n-x と定義し、φを使って逆順に並べ替える手順を構成できる。自明。 さて、無限列を逆順に並べ替える手順はどうしたら構成できるでしょう? 逆順に並べ替えるだけって言いましたよね? まさか何の考えも無しに言ったんですか? だとしたらあなたに数学は到底無理なので諦めた方が良いでしょう。
>>283 >・後者の「基礎の公理に反し」が、間違いであることはすでに述べた > (>>249 より ∈の無限上昇列は禁止されていない。当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ(全てが有限列になるよ!)w) ここの説明が、下記英 Axiom of regularity wikipwedia にあるよ つまり、”called non-standard natural numbers”を含む列は、基礎の公理には反しないと説明されているよ 当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ (参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity Axiom of regularity No infinite descending sequence of sets exists Since our supposition led to a contradiction, there must not be any such function, f. Notice that this argument only applies to functions f that can be represented as sets as opposed to undefinable classes. The hereditarily finite sets, Vω, satisfy the axiom of regularity (and all other axioms of ZFC except the axiom of infinity). So if one forms a non-trivial ultrapower of Vω, then it will also satisfy the axiom of regularity. The resulting model will contain elements, called non-standard natural numbers, that satisfy the definition of natural numbers in that model but are not really natural numbers. They are fake natural numbers which are "larger" than any actual natural number. This model will contain infinite descending sequences of elements. For example, suppose n is a non-standard natural number, then (n-1)∈n and (n-2)∈(n-1), and so on. For any actual natural number k, (n-k-1)∈(n-k). This is an unending descending sequence of elements. But this sequence is not definable in the model and thus not a set. So no contradiction to regularity can be proved. (引用終り) 以上 >>316 追加 さらに言えば、おサルの議論は、あたかも決定性公理を使って「非可測集合は存在しない」(下記)と言っているようなもの 決定性公理ではなく、フルの選択公理を使えば、「実数の部分集合でルベーグ可測でないものが存在する」ことが導かれる(下記) 仮に、百歩ゆずって、基礎の公理に反するとしても、基礎の公理を使わない集合論もあるから、 加算無限多重シングルトンの存在自身を否定したことに、はならんぜよっ!(^^ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86 決定性公理 決定性公理は公理的集合論の選択公理と矛盾する。決定性公理を仮定すると、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」「ベールの性質を持つ」「完全集合性(英語版)を持つ」ことが従う。とくに実数の任意の部分集合が完全集合性を持つことは「実数の部分で非可算なる集合は実数と同じ濃度を持つ」という弱い形の連続体仮説が成り立つことに換言される。 選択公理からは「実数の部分集合でルベーグ可測でないものが存在する」ことが導かれるが、この事実からも決定性公理と選択公理が相容れないことが分かる。 スレ主よ、サル石と質問少年は 0.9、0.99、0.999、…という数列の極限値が1である理由さえ説明できずに逃げている(笑 まさに正真正銘のバカである(笑 僕は毎日毎日こんなドアホの相手をしているのだ(笑 お前だってサル石のようなドアホの相手をするのはもううんざりだろう(笑 本当に、何でこんなドアホが数学板にいるのだろうか(笑
>>316 >”called non-standard natural numbers”を含む列は、 >基礎の公理には反しない 無限順序数は超準自然数(non-standard natural numbers)ではないよ 超準自然数を考えたとことで、最大の自然数は存在しないので 決定番号が超準自然数nnだとしても、必ずnnの先の尻尾がとれる つまり、箱入り無数目は成立する いい加減、下から目線で吠えるのやめたら? 雑談君 >>317 >おサルの議論は、あたかも決定性公理を使って >「非可測集合は存在しない」 >と言っているようなもの 逆 野良イヌ雑談君の「絶対当たらない」という主張こそ、 選択公理を否定して 「同値類の代表元は取れない!」 と言ってるようなもの なお、決定性公理が成り立つなら選択公理は否定される それゆえ、非可測集合が構成できなくなる 「全ての集合がルベーグ可測」という命題が成立するといっても 決して非可測集合自体が可測集合に化けるわけではなく 非可測集合が集合として認められなくなるだけのこと 直感で感じるな 論理で考えろ >>317 >百歩ゆずって、基礎の公理に反するとしても、 >基礎の公理を使わない集合論もあるから、 >加算無限多重シングルトンの存在自身を >否定したことにはならんぜよっ! ZFCには基礎の公理があるから 可算無限多重シングルトンの存在自身否定される {}の数、という直感で感じるな 公理からの推論、という論理で考えろ >>318 雑談君は 0.9、0.99、0.999、…という数列の極限値が1である理由 を説明できないよ なんたって論理ぬきの直感で生きてる野良犬だからな 気に入らないことがあると下から目線でワンワン吠え誰にでも噛みつく ほんと困ったもんだwww {}からどんどん外側に{}をつけるとして {}を、-(n-1)/nと(n-1)/n (n>=2 n∈N) につけた場合 ・−1と、1のところには{}は存在しない ・(-1,1)のいかなる点でも、その外側に{}が存在するから 一番外側の{}が存在しない つまり、上記の「図形」は一番外側の{}を外して その中身の要素を取り出すことができない したがって、集合と考えることができない
>>323 雑談君は直感🐎🦌だから、こう考えるだろう 「一番外側の{}がない?そんな🐎🦌なことはない どこでもいいから{}の外側から {}のあるほうに連続的に移動したときに 最初にあたる{}が一番外側だろうが!」 そんな雑談君に問う 「じゃ、2から0の方向に向かって進んだとき 一番最初にあたる}の位置をズバリ答えよ」 >>316 >当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ だから誰も禁止してないって言ってるのが分らん? 最後の項がある無限列(数列だろうが∈に関する上昇列だろうが)なんて存在しないと言ってるのが分らん? 阿呆は黙ってろよ。阿呆に発言権は無い。 >>317 >仮に、百歩ゆずって、基礎の公理に反するとしても、基礎の公理を使わない集合論もあるから、 譲らなくても違反。 基礎の公理を使わない集合論とやらの例示頼むわ。 で、案の定 >単に箱の並びを、□1,□2,・・□n,・・ ( n∈N)とは、逆にしただけ 逆にする手順を具体的に構成できますか? はスルーした訳だが 何の考えも無く発言するのはバカの証拠。バカは数学板から去れ。
こっちもスルーしそうだなw >基礎の公理を使わない集合論とやらの例示頼むわ。
無責任に放言吐く癖をまず治せよ 治せないなら数学板から去れ
メモ https://www.nikkei.com/article/DGXZQOUC193PM0Z10C21A4000000/ Netflixの屋台骨 「AIレコメンド」技術最前線 CBインサイツ 日経 2021年4月26日 2:00 ネットショッピングやコンテンツの視聴――。人工知能(AI)で好みの製品を推薦する「レコメンドシステム」は、いまやネットサービスに欠かせない存在だ。その精度は企業の競争力を左右する。米ネットフリックスや米ウーバーテクノロジーズなど主要企業の取り組みをCBインサイツがまとめた。 米動画配信大手のネットフリックスは2020年7〜9月期に実施した決算発表で、視聴されたコンテンツの「大多数」(過去の決算発表によると75%前後)がレコメンドシステムをきっかけに選ばれていることを明らかにした。 この技術の人気は高まっている。新型コロナウイルスのパンデミック(世界的大流行)により消費者のオンライン活動が急拡大したことを背景に、決算発表でレコメンドシステムが話題に上った回数は過去最高に達した。米半導体大手エヌビディアは21年4〜6月期に実施した決算発表で、レコメンドエンジンをここ数年の人工知能(AI)の「三大ブレークスルーの1つ」に挙げた。残りの2つにあたる「音声AI」「自然言語理解」も強力なレコメンドシステムの実現を支えるだろう。 今回のリポートでは、次世代のレコメンドシステムで使われるAI技術を取り上げる。 (1)グラフAI技術 (2)多腕バンディット、文脈バンディット、強化学習 「多腕バンディット」とは、「単腕バンディット」と呼ばれるカジノのスロットマシン(バンディット)にちなんで名づけられたAIのアプローチだ。 スロットマシンには「腕(レバー)」がついており、ギャンブラーはこれを引いて報酬を得られるかどうかを待つ。カジノでどのマシンが払戻金を得る可能性が最も高いかを解く問題を「多腕バンディット(MAB)問題」という。 各社は履歴がない新規ユーザーに何を薦めるかを判断する際、MABに基づくアプローチで何が適しているかを見極めることができる。 >>318 哀れな素人さん どうも スレ主です(^^ >お前だってサル石のようなドアホの相手をするのはもううんざりだろう(笑 >本当に、何でこんなドアホが数学板にいるのだろうか(笑 同意です。おサルは、哀れな素人さんのスレで 引き取って放し飼いをお願いします(^^; >>332 >基礎ができてないのにコピペでマウント合戦w スレ主です ありがとさん 「基礎の公理の”基礎”が理解できてないのに、マウント合戦」 が正しいんじゃね? いい勝負だろ?w(^^; >>332 >コピペでマウント合戦w 補足すれば、 いま300字くらいの文を書く必要があるとする 検索して、200字くらいは同じ意見の文を見つけた これをコピペして、残り100字を自分で書く コピペには、URLと関連部分をコピーして貼っておく コピー先が、権威ある大学教授などなら、ベスト 300字書くところが。100字で済むし 典拠があれば、正確で、説得力増すよ(^^ >>334 >権威ある大学教授 数学わからん🐎🦌は大学教授の権威に騙される だからもっちーのIUT詐欺に簡単に引っかかるんだよw 残念だけど、シングルトンの件は、雑談君の完敗 3歳児の幼稚なプライド捨てて、 自分が間違ってる、と認められるといいね >>318 雑談君は、0.999…=1の理由わかってないから 今教育しなおせば、簡単に哀れな老人の支持者になるかもよw ということで、雑談君は今すぐこの💩スレ捨てて0.999…スレに行きな キミの心の師、安達弘志センセイが待ってるよ!!! 突然ですが、いつもの事ですが、 今日も、モピロン、ポク👾は ガウス星人とロピタル星人から ハイパでワンダな電波を受信した。 【超怪電波内容】 ∞の定義はもうよい。で、モピロン、 素数は有限個を証明した。ギャオォォ 正確には、素数は存在しないのだ。 【証明詳細】 ガウス星人は、言った x未満の素数の個数は、π(x)とする π(x) ≒ x/log(x) ──★が成立する π(∞) ≒ ∞/log(∞) = ∞ ∴ 素数は無限個ありそう。 で、ロピタル星人が笑い転げた ∞/log(∞)は、分母も∞だ。で、 dπ(x) /dx = 1/log(x) - (1/log(x))^2 ☆ ∵ネットに存在の微分電卓使用 ☆より、 lim│x→∞│dπ(x) /dx = 0 そして、モッピロン、ロピタル定理で π(x) /x = 0である。 無限に飛ばすと、 ドンドン大きくなるのに、0になる。 素数は、有限個、それも0個だ∴ 素数は、存在しないことを証明した。 by 👾が、🐴🦌なのを証明しちやった
あっ少なくとも二重に間違えた ロピタルの定理のとこと、 lim│x→∞│dπ(x) /dx = 0 になるのは、Okだとしても lim│x→∞│dπ(x) は有限とは言えない ヤッパリ、素数は無限個ありそあう。 by 👾 今日は霊感がbugってる
>>334 典拠が理解できず、違う主張しかしてないから、説得力皆無。 >>337-338 ID:yqhGfZhSさん、どうも スレ主です レスありがとうございます >ヤッパリ、素数は無限個ありそあう。 ヤッパリ、ユークリッドは偉大ですね(^^; >>335 >だからもっちーのIUT詐欺に簡単に引っかかるんだよw おサルよ おまえは、見る目がないね ずっこけドイツ人 ショルツェ氏の権威に目がくらんだのは おサル、あんただよ 今年の末ころには はっきり決着がつく 望月IUTは ちゃんと認められるよ(^^ >>320 >逆 野良イヌ雑談君の「絶対当たらない」という主張こそ、 >選択公理を否定して >「同値類の代表元は取れない!」 >と言ってるようなもの ほいよ 下記転載しておく ”実数rの一点的中は、確率0以外ありません!!! (ある区間 [a,b] などが設定されるならばともかくも” これは、測度論から従う(^^; 箱入り無数目を語る部屋 http://2chb.net/r/math/1609427846/133 133 自分:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 投稿日:2021/04/26(月) 20:55:20.06 ID:eT8TbUBw >>128 ID:IgNykFEUさん、どうも スレ主です (引用開始) 一様分布か!、それなら尚更、 実数値を当てるどころか その確率分布の平均すら当てることは 不可能。 (引用終り) そうそう、その通り!! 実数rの一点的中は、確率0以外ありません!!! (ある区間 [a,b] などが設定されるならばともかくも(^^; ) >>343 バカ丸出しw そんなつまらん話が数学セミナーの記事になるかアホw >>316 追加 ”The axiom of dependent choice and no infinite descending sequence of sets implies regularity”(下記) な せめて選択公理の弱いバージョンが必要だってことな https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity Axiom of regularity Contents 1 Elementary implications of regularity 1.2 No infinite descending sequence of sets exists 2 The axiom of dependent choice and no infinite descending sequence of sets implies regularity The axiom of dependent choice and no infinite descending sequence of sets implies regularity Let the non-empty set S be a counter-example to the axiom of regularity; that is, every element of S has a non-empty intersection with S. We define a binary relation R on S by aRb:⇔ b∈ S∩a, which is entire by assumption. Thus, by the axiom of dependent choice, there is some sequence (an) in S satisfying anRan+1 for all n in N. As this is an infinite descending chain, we arrive at a contradiction and so, no such S exists. >>344 数学セミナーも アホを釣りたかった 時枝さん、釣れますか?www(^^; 釣れたよ 判断を直観に頼るしかない獣が見事にね 数学は人間様のもの 獣には無理
>>316 >つまり、”called non-standard natural numbers”を含む列は、基礎の公理には反しないと説明されているよ 大間違い。 The hereditarily finite sets, Vω, satisfy the axiom of regularity (and all other axioms of ZFC except the axiom of infinity). So if one forms a non-trivial ultrapower of Vω, then it will also satisfy the axiom of regularity. The resulting model will contain elements, called non-standard natural numbers 遺伝的有限集合Vωは基礎の公理(及び無限公理を除く他のすべてのZFCの公理)を満たす。よって誰かがVωの非自明な超冪を形成したら、それも基礎の公理を満たす。結果モデルは超準数と呼ばれる要素を含むだろう。 基礎の公理に反しないと言われているのは「超準数を含む列」ではなく「遺伝的有限集合Vωの超冪」である。 間違えた。素数は無限個ある。ゆーくりっどの証明で 任意の素数積にそこに無い素数を足し引きすると更にそこそこにも無い素数の同士の積か素数ただ一つになる。
よく皆言うあれ。 1*2*3*5*7*11+1= は+- other p 他の素数でもいいのだよ。
クンマーが+1の場合を証明したんだっけ。 そこにあるpで割り切れないんだからあたりまえじゃ。
>>326 >>仮に、百歩ゆずって、基礎の公理に反するとしても、基礎の公理を使わない集合論もあるから、 >基礎の公理を使わない集合論とやらの例示頼むわ。 ほいよ、下記 ”New Foundations has a universal set, so it is a non-well-founded set theory.[2] That is to say, it is an axiomatic set theory that allows infinite descending chains of membership such as … xn ∈ xn-1 ∈ … ∈ x2 ∈ x1.” https://en.wikipedia.org/wiki/New_Foundations New Foundations New Foundations has a universal set, so it is a non-well-founded set theory.[2] That is to say, it is an axiomatic set theory that allows infinite descending chains of membership such as … xn ∈ xn-1 ∈ … ∈ x2 ∈ x1. It avoids Russell's paradox by permitting only stratifiable formulas to be defined using the axiom schema of comprehension. For instance x ∈ y is a stratifiable formula, but x ∈ x is not. Contents 8 Models of NFU 8.1 Self-sufficiency of mathematical foundations in NFU 9 Strong axioms of infinity https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B0%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96 新基礎集合論 数理論理学において新基礎集合論 (しんきそしゅうごうろん、英: New Foundations) またはNF集合論とは、プリンキピア・マテマティカの型理論を単純化したものとしてウィラード・ヴァン・オーマン・クワイン[1]によって考案された、公理的集合論の一種である。この名称は、クワインが1937年における記事『数理論理学の新基礎』において初めて提唱したことに由来する。現在広く受け入れられているのはクワインが提唱したもともとの体系NFを少し修正したNFUと呼ばれる体系[2]である。 つづく >>353 つづき 追加 (参考)”Holmes further argues that set theory is more natural with than without urelements, since we may take as urelements the objects of any theory or of the physical universe.[6] ” https://en.wikipedia.org/wiki/Urelement#Urelements_in_set_theory Urelement Contents 1 Theory 2 Urelements in set theory Urelements in set theory The Zermelo set theory of 1908 included urelements, and hence is a version we now call ZFA or ZFCA (i.e. ZFA with axiom of choice).[1] It was soon realized that in the context of this and closely related axiomatic set theories, the urelements were not needed because they can easily be modeled in a set theory without urelements.[2] Thus, standard expositions of the canonical axiomatic set theories ZF and ZFC do not mention urelements. (For an exception, see Suppes.[3]) Axiomatizations of set theory that do invoke urelements include Kripke?Platek set theory with urelements, and the variant of Von Neumann?Bernays?Godel set theory described by Mendelson.[4] In type theory, an object of type 0 can be called an urelement; hence the name "atom." Adding urelements to the system New Foundations (NF) to produce NFU has surprising consequences. In particular, Jensen proved[5] the consistency of NFU relative to Peano arithmetic; meanwhile, the consistency of NF relative to anything remains an open problem, pending verification of Holmes's proof of its consistency relative to ZF. Moreover, NFU remains relatively consistent when augmented with an axiom of infinity and the axiom of choice. Holmes further argues that set theory is more natural with than without urelements, since we may take as urelements the objects of any theory or of the physical universe.[6] つづく >>354 つづき https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity Axiom of regularity Regularity in the presence of urelements Urelements are objects that are not sets, but which can be elements of sets. In ZF set theory, there are no urelements, but in some other set theories such as ZFA, there are. In these theories, the axiom of regularity must be modified. The statement "{\displaystyle x\not =\emptyset }{\displaystyle x\not =\emptyset }" needs to be replaced with a statement that {\displaystyle x}x is not empty and is not an urelement. One suitable replacement is {\displaystyle (\exists y)[y\in x]}{\displaystyle (\exists y)[y\in x]}, which states that x is inhabited. (引用終り) スレ主よ、サル石が >「∞とは最大の自然数である」と定義したら∞は存在する。 と書いてきた(笑 ったくどうしようもないドアホだ(笑
>>356 >>「∞とは最大の自然数である」と定義したら∞は存在する。 >と書いてきた(笑 >ったくどうしようもないドアホだ(笑 哀れな素人さん、どうも。スレ主です 確かに、おサルはアホです 無限は、古代ギリシャ時代から、議論されてきました(下記) 数学でも、17世紀ごろから議論され、カントールの無限集合論が出来ました アホがシッタカするから、ズッコケおサルになるのですねw(^^; (参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Infinity Infinity represents something that is boundless or endless, or else something that is larger than any real or natural number.[1] It is often denoted by the infinity symbol shown here. The infinity symbol Infinity represents something that is boundless or endless, or else something that is larger than any real or natural number.[1] It is often denoted by the infinity symbol shown here. Since the time of the ancient Greeks, the philosophical nature of infinity was the subject of many discussions among philosophers. In the 17th century, with the introduction of the infinity symbol[2] and the infinitesimal calculus, mathematicians began to work with infinite series and what some mathematicians (including l'Hopital and Bernoulli)[3] regarded as infinitely small quantities, but infinity continued to be associated with endless processes.[4] As mathematicians struggled with the foundation of calculus, it remained unclear whether infinity could be considered as a number or magnitude and, if so, how this could be done.[2] At the end of the 19th century, Georg Cantor enlarged the mathematical study of infinity by studying infinite sets and infinite numbers, showing that they can be of various sizes.[2][5] For example, if a line is viewed as the set of all of its points, their infinite number (i.e., the cardinality of the line) is larger than the number of integers.[6] つづく >>357 つづき In this usage, infinity is a mathematical concept, and infinite mathematical objects can be studied, manipulated, and used just like any other mathematical object. https://en.wikipedia.org/wiki/Infinity_ (philosophy) Infinity (philosophy) In philosophy and theology, infinity is explored in articles under headings such as the Absolute, God, and Zeno's paradoxes. In Greek philosophy, for example in Anaximander, 'the Boundless' is the origin of all that is. He took the beginning or first principle to be an endless, unlimited primordial mass (?πειρον, apeiron). The Jain metaphysics and mathematics were the first to define and delineate different "types" of infinities. The work of the mathematician Georg Cantor first placed infinity into a coherent mathematical framework. Keenly aware of his departure from traditional wisdom, Cantor also presented a comprehensive historical and philosophical discussion of infinity.[1] Philosophers have speculated about the nature of infinity. Pictured is a simulation of the Droste effect. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%AD%E3%82%B9%E3%83%86%E5%8A%B9%E6%9E%9C ドロステ効果(ドロステこうか、オランダ語:Droste-effect)とは、再帰的な画像[1](紋章学における紋中紋)のもたらす効果のこと。あるイメージの中にそれ自身の小さなイメージが、その小さなイメージの中にはさらに小さなイメージが、その中にもさらに……と画像の解像度が許す限り果てしなく描かれる。ドロステ効果は、自己言及システムの不思議の環(strange loop)の視覚的例である。 つづく >>358 つづき ドロステ効果の作り方 ドロステ効果は向かい合った2枚の鏡で簡単に作ることができる。鏡の中にはお互いの画像が永遠に反復される(合わせ鏡も参照)。また、ビデオカメラで、それがとらえた画像の映ったモニターを撮影する(ビデオフィードバック)ことでもドロステ効果が作れる。 モニターの例 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%88%E3%82%8F%E3%81%9B%E9%8F%A1 合わせ鏡 概要 鏡は自分の姿を写すために使われるが、その原理上、正面しか写らない。しかし自分の背中を見たい場合がある。そういうときは、背面に鏡を一つ設置、そこに背中を写して、正面の鏡で背中側の鏡に映った像を見ることができる。これが合わせ鏡である。 しかし、このとき鏡に映った鏡の中に鏡が写り、その中にまた鏡が写る、という具合に、鏡の中は途方もない広がりを見せる。理論的には正面から向かい合わせれば、両側の鏡にそれぞれ無限の枚数の鏡が映ることになろう。 複数枚数の鏡を向き合わせれば、より複雑な写り込みの連鎖ができる。万華鏡はこのようにして作られる。 有限性 合わせ鏡の像は「無限に続いている」と評されることがある。しかし実際には、有限個の像しか見ることはできない。その理由は、効果が大きい順に、以下のようなものがある。 反射率100%の鏡は存在しない。通常の鍍金鏡の反射率は、アルミ蒸着鏡で約80%、銀引き鏡で約90%で、高反射率を謳った鏡で最高99%程度、レーザー発振など光工学で使う特殊な鏡で最高99.99%程度である。 光速度は有限なので、無限の像を生むには無限の時間が必要である。 光時計 合わせ鏡は、特殊相対性理論の思考実験に使われる。合わせ鏡の間を反射する光を利用して時間を計測する光時計を使って、速度による時間の遅れを説明できる。 (引用終り) 以上 >>353 へえ、基礎の公理に代わる公理でパラドックス回避してる訳ね? でもおまえには無用の長物。 なぜならおまえは基礎の公理すら理解できてないから。 おまえにできるのは検索&コピペだけ。 瀬田くんって検索でヒットするものは意気揚々と回答するが、ヒットしないものはスルーなのねw
>>357 >アホがシッタカ わかります 雑談君のことですね >>358-359 雑談君のωが「ドロステ効果」で得られるなら 基礎の公理に真っ向から反するトンデモ嘘集合 ってことですね だって、任意有限回で{}に行きつかないと宣言しきったわけですから 完全な自爆ですね まさに🐎🦌wwwwwww 基礎の公理も理解できないパクチーは 数学に興味もっても無駄ですからぁ ざんね~ん!!! そもそも、基礎の公理を否定してまで 「シングルトンとしてのω」 に固執するのはおかしな話である 単にωを {{},{{}},{{{}}},…} と定義すればいいだけなのに、 いったい何が気に入らないのだろう 精神に異常を来しているのであろうか?
>>359 >合わせ鏡 >このとき鏡に映った鏡の中に鏡が写り、その中にまた鏡が写る、という具合に、鏡の中は途方もない広がりを見せる。理論的には正面から向かい合わせれば、両側の鏡にそれぞれ無限の枚数の鏡が映ることになろう。 日常でも、擬似的に無限を意識することがあります 上記の合わせ鏡や、下記の”無限連鎖講”(ネズミ講) 人が、宇宙や神を思うとき(^^ ”無限”は、結構日常に現れる概念です(^^ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%BA%E3%83%9F%E8%AC%9B ネズミ講(ネズミこう)とは、後に無限連鎖講と呼ばれることとなった連鎖配当組織のことである。ネズミ講の「ネズミ」はねずみ算式に増幅することの例えで、「講」自体に悪い意味はあまりない。現在の日本では、無限連鎖講の防止に関する法律によって該当するものを罰則を持って禁止している。階層状の組織を形成する特徴からピラミッド・スキームとも言われる。 また、投資を運用せず自転車操業的に配当に回してしまう点が共通するポンジ・スキームを指して言うこともある。 なお、特定商取引法で規制されている連鎖販売取引及びそれらに類似したものの総称として用いる場合もある。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%AB%E3%83%81%E5%95%86%E6%B3%95 マルチ商法(マルチしょうほう、multi-level marketing)は、会員が新規会員を誘い、その新規会員が更に別の会員を勧誘する連鎖により、階層組織を形成・拡大する販売形態である。正式名称は連鎖販売取引で、その通称である。別名ねずみ商法、鼠講式販売法。表向き合法であるマルチ商法を謳う組織でも、違法となるネズミ講と判断された事例も多い。 (引用終り) 以上 >いったい何が気に入らないのだろう 間違いを認められない性格なんでしょう 一種の精神異常ですね
>>357 >>「∞とは最大の自然数である」と定義したら∞は存在する。 アホなおサルは、木から落ちるw 数学で、最大(max)と、sup(上限)の区別がついていないとは・・ww(^^; Fラン数学科落ちこぼれwww (参考) https://manabitimes.jp/math/1140 高校数学の美しい物語 sup(上限)とinfの意味,maxとの違い 更新日時 2021/03/07 目次 maxとsupの定義 具体例 supはmaxの一般化 supは常に存在する 次に集合の上限 sup の定義です。 日本語で言うと「上界の最小値」です。 supはmaxの一般化 sup は max を拡張した概念になっているというわけです! supは常に存在する max は存在するとは限りませんが,\supsup は(空でない場合は)常に存在するので,統一的に議論することができます。 \supsup の存在証明は解析学の教科書を参照して下さい(例えば高木貞治の解析概論)。 supが存在する条件として「 AA が空でない」が必要でした。ご指摘いただいた読者の方,ありがとうございます! (本格的には下記などご参照) https://en.wikipedia.org/wiki/Infimum_and_supremum Infimum and supremum Whereas maxima and minima must be members of the subset that is under consideration, the infimum and supremum of a subset need not be members of that subset themselves. (引用終り) 以上 >>368 >supは常に存在する はい、誤り 必要な条件抜いたら、ただの🐎🦌だよ この場合、「A が空でなく,上に有界なら」が必要条件です 例えば、上に有界でなければ、もちろんsupは存在しません 例 {1,2,3,…} この集合のsupが∞だとかドヤ顔でほざく雑談君は正真正銘のパクチーwww (∞は自然数でも実数でもありませ〜んw 勝手に拡大したら🐎🦌で〜すw) >「∞とは最大の自然数である」と定義したら 矛盾しますw ∞が自然数なら、∞+1が存在し、∞<∞+1だからです。 もし∞=∞+1なら、∞={∞}となり、基礎の公理と矛盾します。 ざんね~ん。 拡大自然数とかわめいてますが、 その場合の∞は、あくまで「拡大自然数」であって「自然数」ではありません この違いが分からないなら、雑談君は正真正銘のパクチーwww
>>368 >「∞とは最大の自然数である」と定義したら∞は存在する。 は、 「数学では、xを定義したらxは存在する」 という話であって、 maxとsupの違いがどうこうという話ではないw 的外れも甚だしいw ちなみに安達が発狂してるのは >「∞とは最大の自然数である」と定義したら∞は存在する。 の続きである 「但しこの定義はwell-definedではない(最大の自然数は存在しない)から、この定義による∞はナンセンスな存在に過ぎない。」 の部分が理解できないから。 その証拠に安達は >「∞とは最大の自然数である」と定義したら∞は存在する。 だけを引用し >「但しこの定義はwell-definedではない(最大の自然数は存在しない)から、この定義による∞はナンセンスな存在に過ぎない。」 を引用しない。 理解できていたらセットになっているものの一部だけ切り抜く必要は無い。
>>369 >supは常に存在する >はい、誤り >この場合、「A が空でなく,上に有界なら」が必要条件です >例えば、上に有界でなければ、もちろんsupは存在しません まず 1.それ、”高校数学の美しい物語”さんの引用部分だから、”高校数学の美しい物語”さんに言ってやれよ 2.”高校数学の美しい物語”さんが、「supが存在する条件として「 A が空でない」が必要でした。ご指摘いただいた読者の方,ありがとうございます!」って書いているの ”sup の存在証明は解析学の教科書を参照して下さい(例えば高木貞治の解析概論)” を見落としたのかな?(^^ >例 {1,2,3,…} >この集合のsupが∞だとかドヤ顔でほざく雑談君は正真正銘のパクチーwww >(∞は自然数でも実数でもありませ〜んw > 勝手に拡大したら歷で〜すw) 意味わからん 後の引用 https://en.wikipedia.org/wiki/Infimum_and_supremum Infimum and supremum Whereas maxima and minima must be members of the subset that is under consideration, the infimum and supremum of a subset need not be members of that subset themselves. を見落とした? そして、標準的な解析では、リーマン球面の昔から、∞を当然の如く導入しますよ 当たり前、極限 lim n→∞ さえ、定義できないからね(下記 立命館)(^^; 下記で、リーマンのように、∞を追加した拡張R+を考える 複素解析では、標準でしょ リーマン先生に聞いてみて(^^ つづく >>371 >「数学では、xを定義したらxは存在する」 >という話であって、 それも、違うよね。”well-defined”という言葉ある 1.いま、ある公理系があるとする 2.”xを定義した”として、もし、矛盾を生じるなら、xは存在しえない 3.もし、xが公理系から定理としてその存在が証明されるなら、それは定義ではなく、定理と呼ばれるべきもの 4.で普通は、上記2でも3でもなく、かつ、”well-defined”なxが用いられるよ(^^ 5.”「∞とは最大の自然数である」と定義したら∞は存在する”という例示が、ズッコケだよ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined well-defined[注釈 1](ウェル・ディファインド)は、「定義によって一意の解釈または値が割り当てられる」ことを言う[2]。 注釈 1^ 「容易く理解できる」といった意味の英語の形容詞である(反意語は ill-defined)[1]。 (引用終り) 以上 >>370 >∞が自然数なら、∞+1が存在し、∞<∞+1だからです。 >もし∞=∞+1なら、∞={∞}となり、基礎の公理と矛盾します。 そこ違うよ。下記拡大実数では、”a + ∞=+ ∞”成立ですよ あと、下記順序数をば、ご参照。∞としてノイマン構成の自然数の集合N(これは順序数ωでもあり、可算濃度?0の最小集合でもある) で、下記ノイマン構成のNの後者は、S(N)=N∪{N}={0,1,2,・・・,{N}} (ここにN={0,1,2,・・・}です)で、存在します ここで、N→ωに置き換えれば、S(ω)で、これは存在します(下記の通り) ω≠S(ω)ですし、さらにこの場合の無限列は、基礎の公理とは矛盾しませんよ(^^ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0 拡大実数 算術演算 実数全体 R における四則演算は、以下の規約により部分的に R~ まで拡張することができる。 a + ∞=+ ∞ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 順序数 順序数の大小関係 順序数の並び方を次のように図示することができる: 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), .............................. まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数(自然数)が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。その後、それらの最小上界(後に ω + ω と呼ばれる)が並び、その後続者たちが無限に続く。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%8C%E7%B6%9A%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 後続順序数 フォンノイマンのモデル 「フォンノイマン基数割り当て(英語版)」も参照 集合論における標準的なモデルとしてフォンノイマンの順序数モデルは、順序数 α の後者 S(α) を等式 S(α)=α ∪ {α} によって与える[1]。 (引用終り) 以上 >>376 訂正 あと、下記順序数をば、ご参照。∞としてノイマン構成の自然数の集合N(これは順序数ωでもあり、可算濃度?0の最小集合でもある) ↓ あと、下記順序数をば、ご参照。∞としてノイマン構成の自然数の集合N(これは順序数ωでもあり、可算濃度アレフ0の最小集合でもある) アレフ記号を入れたら文字化けした 不便な板だよね5ch >>373 >1.それ、”高校数学の美しい物語”さんの引用部分だから、”高校数学の美しい物語”さんに言ってやれよ 引用したのはおまえ 他人に責任を擦り付けるな >>375 >2.”xを定義した”として、もし、矛盾を生じるなら、xは存在しえない 証明よろしく >>297 >> (>>249 より ∈の無限上昇列は禁止されていない。当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ(全てが有限列になるよ!)w) >誰も無限上昇列を禁止していない。実際 0∈1∈… が存在する。そうじゃなく「"最後の項がある"無限上昇列は存在しない」と言っている。 >一方、無限下降列は正則性公理で禁止されている。 おサルは、全然理解できていないな 1.無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ(全てが有限列になる) 2.つまり、ZFCでやりたいのは、無限の高層ビルみたいなこと(即ち無限上昇列(それ当たり前))で、禁止したいのは「底なし沼」のようなどこまでも下降する列だよ(「底なし沼」は不要だと) 3.下記のOrdinal numberのポンチ絵 A graphical "matchstick" representation of the ordinal ω^2. Each stick corresponds to an ordinal of the form ω・m+n where m and n are natural numbers. を見てください。自然数の0,1,2・・が並んだ後に最小のthe first infinite ordinal, ωが来て、ω+1, ω+2, ω+3・・とつづく 0,1,2・・,ω,ω+1, ω+2, ω+3・・ (無限上昇列存在)と説明されている 4.ノイマンの基数割り当てでは、自然数N、つまり加算無限基数アレフ0 が、ω(=ω0)でもある(下記) 5.そして、ノイマンの基数割り当てでは、 ”0∈1∈2・・∈ω∈ω+1∈ ω+2∈ ω+3・・”でもある(分からない人は、下記”von Neumann cardinal assignment”を嫁め) 6.無限上昇列があれば、逆に辿れば、当然無限下降列になる。当たり前。それ禁止したらまずい その説明が、既に述べた >>316 https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity Axiom of regularity - No infinite descending sequence of sets exists にあるよ 7.”「"最後の項がある"無限上昇列は存在しない」と言っている”は、単に、おサルがキーキー言っているだけの独自説にすぎない!(^^; つづく >>380 つづき (参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number Ordinal number A graphical "matchstick" representation of the ordinal ω^2. Each stick corresponds to an ordinal of the form ω・m+n where m and n are natural numbers. Perhaps a clearer intuition of ordinals can be formed by examining a first few of them: as mentioned above, they start with the natural numbers, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … After all natural numbers comes the first infinite ordinal, ω, and after that come ω+1, ω+2, ω+3, and so on. (Exactly what addition means will be defined later on: just consider them as names.) After all of these come ω・2 (which is ω+ω), ω・2+1, ω・2+2, and so on, then ω・3, and then later on ω・4. Now the set of ordinals formed in this way (the ω・m+n, where m and n are natural numbers) must itself have an ordinal associated with it: and that is ω^2. Further on, there will be ω^3, then ω^4, and so on, and ω^ω, then ω^ω^ω, then later ω^ω^ω^ω, and even later ε0 (epsilon nought) (to give a few examples of relatively small?countable?ordinals). This can be continued indefinitely (as every time one says "and so on" when enumerating ordinals, it defines a larger ordinal). The smallest uncountable ordinal is the set of all countable ordinals, expressed as ω1 or Ω .[4][5][6] つづく >>381 つづき (再録)ノイマンの基数割り当てでは、自然数N、つまり加算無限基数 アレフ0 が、ω0(=ω)でもある(下記) (”A graphical "matchstick" representation of the ordinal ω^2. Each stick corresponds to an ordinal of the form ω・m+n where m and n are natural numbers.”) https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_cardinal_assignment von Neumann cardinal assignment Initial ordinal of a cardinal The α-th infinite initial ordinal is written Ω_α. Its cardinality is written アレフ_α (the α-th aleph number). https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%8C%E7%B6%9A%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 後続順序数 フォンノイマンのモデル 「フォンノイマン基数割り当て(英語版)」も参照 集合論における標準的なモデルとしてフォンノイマンの順序数モデルは、順序数 α の後者 S(α) を等式 S(α)=α ∪ {α} によって与える[1]。 順序数の順序付けにおいて α < β となるための必要十分条件は、α ∈ β となることであったから、ここから直ちに二つの順序数 α, S(α) の間にはほかの順序数はなく、かつ明らかに α < S(α) が成り立つ。すなわち、この S(α) は α の後者としての条件を満足していることが確かめられる。 つづく >>382 つづき (下記無限公理の説明で、 B:={Φ ,{Φ},{Φ ,{Φ}},・・・}が無限列で、{Φ ∈{Φ}∈{Φ ∈{Φ}}∈・・・}と無限上昇列になるよ(^^ ) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86 無限公理 定義 ZF公理系における公式な定義は次の通りである。 空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する: ∃ A(Φ ∈ A∧∀ x∈ A(x∪{x}∈ A)) 解釈と帰結 上記定義では「無限」という言葉は用いられていないが、この公理によって(少なくとも1つの)無限集合の存在が保証されることになる。 まず定義中の集合 A は以下の性質を満たすことを確認できる。 Φ ∈ A(空集合 Φ は A の要素である) Φ ∪{Φ}={Φ}∈ A (「空集合 Φ を要素にもつ集合」は A の要素である) {Φ}∪{Φ ∪{Φ}}={Φ ,{Φ}}∈ A} (「空集合」と「空集合を要素にもつ集合」の2つを要素にもつ集合は A の要素である) (以下同様に繰り返す) 各手続きで得られた集合を要素とする集合を B:={Φ ,{Φ},{Φ ,{Φ}},・・・} とおくと、 B は A の部分集合である。 この手続きは何回でも繰り返すことができるが、もし有限回で終えた場合、 B は有限集合であり、 A≠ Bである。なぜならば定義により B∪{B}∈ A であるが、 B∪{B} not∈ B となるからである。一方 A が有限集合であれば、この手続きを繰り返すことで B が A よりも多くの要素をもつことができてしまう。 従って A は有限集合ではない(すなわち無限集合である)ため、無限公理を採用すれば直ちに無限集合の存在を認めることになる。 上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と同様である。ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。(可算集合) 独立性 無限公理はZF公理系において独立した公理である。すなわちZF公理系の他の公理たちから導くことも反証することもできない。 (引用終り) 以上 >>379 >>2.”xを定義した”として、もし、矛盾を生じるなら、xは存在しえない >証明よろしく おサルは、頭腐ってんのか? 基礎の公理が禁止している集合は 例えば、 1)x ∈x とか 2)・・∈xn∈・・∈x2∈x1∈x0 とかが その例だよ? で、基礎の公理が存在するZFCの体系中では おサルが勝手に ある集合xで、「x ∈x」という性質を持つ集合xが存在すると定義するとかさ ある無限降下列「・・∈xn∈・・∈x2∈x1∈x0」が存在すると定義するとかさ そういう議論は、基礎の公理が存在するZFCの体系中では御法度だよ(禁止されている) もちろん、基礎の公理が存在しない公理体系を作って、その中で議論するのは可だがね 証明とかそういうレベルじゃないよ 常識だよ。中学生でも分かるよな、これはwww(^^ >>380 >おサルは、全然理解できていないな >1.無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ(全てが有限列になる) だーかーらー 誰も無限上昇列を禁止してるなんて言ってないよって言っての バカ? 最後の項がある無限上昇列なるものは存在しないと言ってるの バカ? 全然理解できてないのがおまえ 0∈1∈2∈…は無限上昇列。誰も無限上昇列を禁止していないw 0∈1∈2∈…∈ωなる無限上昇列は存在しない。最後の項があったら無限列の定義に違反するから。おまえが無限列の定義の確認を怠ってるだけ。 尚、0∈1∈2∈…∈n∈ωの形の列は有限列。 おまえ本当にバカ丸出しだな。 >>380 > A graphical "matchstick" representation of the ordinal ω^2. Each stick corresponds to an ordinal of the form ω・m+n where m and n are natural numbers. > を見てください。自然数の0,1,2・・が並んだ後に最小のthe first infinite ordinal, ωが来て、ω+1, ω+2, ω+3・・とつづく それ、列じゃないからw 列だったらωの前者が居ないとダメw ホントバカだね > 0,1,2・・,ω,ω+1, ω+2, ω+3・・ (無限上昇列存在)と説明されている されてないw どこに「列」と説明されてるの? おまえが勝手に「(無限上昇列存在)」を付け足してるだけw 捏造はやめて下さいねー >>380 >5.そして、ノイマンの基数割り当てでは、 ”0∈1∈2・・∈ω∈ω+1∈ ω+2∈ ω+3・・”でもある(分からない人は、下記”von Neumann cardinal assignment”を嫁め) はい、また捏造。 ωの一つ前は何? 答えてね てゆーか極限順序数の定義分かってる? >>380 >6.無限上昇列があれば、逆に辿れば、当然無限下降列になる。当たり前。それ禁止したらまずい 無限上昇列はあるよw 最後の項がある無限上昇列なんてものは無いよ?列の定義に反するから。 よってもって逆には辿れないw 辿るもなにも初項が無いw 残念!! 無限上昇列 0∈1∈…∈ω があると言うなら、ωの直前の項を答えて下さいねー 逃げないで下さいねー >>380 >7.”「"最後の項がある"無限上昇列は存在しない」と言っている”は、単に、おサルがキーキー言っているだけの独自説にすぎない!(^^; ωの直前の項を答えてから吠えましょうねー >>383 >(下記無限公理の説明で、 B:={Φ ,{Φ},{Φ ,{Φ}},・・・}が無限列で、{Φ ∈{Φ}∈{Φ ∈{Φ}}∈・・・}と無限上昇列になるよ(^^ ) だから言ってるじゃん 最後の項が無い無限上昇列は存在するとw バカ? 要するにおまえは 「集合xに無限下降列が存在してもxは正則性公理に反しない」 が間違いだと認められないだけ。 だから最後の項がある無限上昇列の捏造を繰り返すw スルーされそうなので念押しときますね 無限上昇列 0∈1∈…∈ω が存在すると言うなら、ωの直前の項を答えて下さいねー
まさかω-1が直前である(キリッ とか答えないでしょーねw ωは極限順序数であることをお忘れなくw
>>384 >もちろん、基礎の公理が存在しない公理体系を作って、その中で議論するのは可だがね じゃ「存在しえない」と言ったおまえの間違いじゃんw 極限順序数は後続順序数ではない。 つまりωの前者は存在しない。 つまり0からωまでのすべての順序数を並べた 0∈1∈…∈ω は列になり得ないw ωの前者が居ないのになぜ列になると思うのか?w 列の定義が分かってないだけw 0∈1∈…∈n∈ω は有限列w なんでこんな簡単なことが理解できないの?早く落とした脳みそ見つけてこいw
スルーされそうなので再念押し 無限上昇列 0∈1∈…∈ω が存在すると言うなら、ωの直前の項を答えて下さいねー
>>368 >>>supは常に存在する >>369 >>はい、誤り >>この場合、「A が空でなく,上に有界なら」が必要条件です >>例えば、上に有界でなければ、もちろんsupは存在しません >>373 >それ、”高校数学の美しい物語”さんの引用部分だから、 >”高校数学の美しい物語”さんに言ってやれよ いや、雑談君の引用の仕方が間違ってるから 雑談君一匹のみに行ってやればよい 上に有界なら、という言葉が理解できない? だったら真っ先に検索しようね 有界・上界・下界とは? https://risalc.info/src/bounded.html 集合 S に含まれる全ての数が ある一つの数 M よりも大きくないとき、 S は上に有界であるといい、M を上界という。 言い換えると、全ての x∈S に対して、x ≤ M が成り立つとき、 M を S の上界といい、S が上に有界であるという。 >>374 >定理 5.3. R の任意の部分集合 A について, A が上に有界ならば sup A(∈ R) が存在する. >定理 5.3 からは次の定理を得る. >定理 5.5. 上に有界な単調増加数列 {an} について >A = {an ∈ R | n = 1, 2, 3, ・ ・ ・ } >とおくと, >limn→∞ an = sup A >である. 例えば、数列1,2,3,…は、上に有界ではないが? わからんか?大学1年の4月の実数の定義でオチコボレた雑談君www >>373-374 >標準的な解析では、リーマン球面の昔から、∞を当然の如く導入しますよ >当たり前、極限 lim n→∞ さえ、定義できないからね >下記で、リーマンのように、∞を追加した拡張R+を考える >複素解析では、標準でしょ なんか、初歩的な誤解してるねwww 勝手になんでもかんでも一点コンパクトしたらダメだよwww 例えば複素関数EXPは、∞では極ではない つまり、EXPはリーマン球面上の有理型関数ではない ついでにいうと、楕円関数もリーマン球面上の有理型関数ではない さらにいうと、モジュラー関数は リーマン球面どころか複素平面上でも 有理型関数ではない 雑談君、全然わかりもせずに、🐎🦌の一つ覚えで 「リーマン球面!」と叫んでも意味ないよ キミのオツムの中には複素トーラスも 種数2以上の代数曲線も存在しないのかい?www >>375 なんかあいかわらず雑談君はわけもわからずトンチンカンなこといってるね well-definedを用いる実例を一つも知らず(理解もせず) 自分勝手な俺様誤解をわめいてもパクチーと罵られるだけだよwww 銅の完全な抽出だって?。 珪酸カルシウムでコンクリートのひびをなおす微生物はしらんが。 微生物を銅の生産に使うのか。馬鹿か。かわいそうだわ。
モピロン、数列1,2,3,…は、上に有界 だぁぁぁ。∵モピロン で、その数列は、a(n)=nで 上に有界の最小の数Nが、モピロン 決定番号なのである。 これこそ、超々々々…本物のεN論法 である。このNは、どんな(1/ε)より もデカイのだ。∵定義しゃったから 存在するヨ モチロン、(1/ε)の∞倍数の∞乗数 よりも、決定番号は、タブン大きい そんな、決定番号も、上に有界な 自然数の中では最小の数である。 ちなみに、背理法はマピガッてるから モピロン、無理数は存在しない。 🌍の数学は、誠にけしからんことに xが未定義⇒xは存在しない という風に、暗に定義してるようだ 具体的な例は、遅くとも、モピロン 決定番号日、以前に記載しようなか 決定番号ってしかし一体何だろうか 途轍もなかデカそうだが∞では ないらしぃ by 👾
>>376 >拡大実数では、”a + ∞=+ ∞”成立ですよ 拡大実数は、実数ではないが 具体的にいえば、拡大実数∞は、実数ではないが 雑談君は、実数と拡大実数の区別もできない🐎🦌なのか? >∞としてノイマン構成の自然数の集合Nで、 >ノイマン構成のNの後者は、 >S(N)=N∪{N}={0,1,2,・・・,{N}} >で、存在します >ここで、N→ωに置き換えれば、S(ω)で、これは存在します >ω≠S(ω)ですし、さらにこの場合の無限列は、基礎の公理とは矛盾しませんよ 雑談君よ 同じこと、ツェルメロ構成のωでやってみ? S(ω)={ω}だよな? で、ωは何? 「ツェルメロ構成の自然数の集合」ではないんだろ?シングルトンんなんだろ? で、そのときω≠S(ω)といえるかい?基礎の公理と矛盾しないかい? 自分の🐎🦌から目を背けてはいけないよ 雑談君www 何か、ナゾの電波📶を受信した。 ある企業が、ちょっと昔に 微生物を用いて、銅含有量の低い鉱石から銅を効率的に取り出す新技術 を開発したみたい。 だいぶ前の話だな そうだ、思い出した モピロン、ポクは、その微生物だった 銅は生物には少し有毒がだから、 銅は別の場所に捨てたら、 🌍地球人という人間が、もっていって くれた。地球人ありがとう。 by 👾は微生物だと定義してみたぁぁ
>>380 >おサルは、全然理解できていないな 理解できてないのは、雑談君、君だよ、キ・ミ まず、順序数の列と、∈列は全く異なる 0∈1∈2∈・・・ という無限上昇列は書けるが、 その先に、とってつけたように ∈N と書くことはできない なぜなら ∈N の左側に君は要素を書くことができないから できるというなら書いてみたまえ ほれ、どうした🐎? どうした🦌? >Ordinal numberのポンチ絵 > はい🐎🦌 雑談君は、文章が一切読めず、絵だけで妄想する 万年小学生のパクチー野郎www ポンチ絵は∈列を何一つ表さない まさかポンチ絵のように{}をつければいいと思ってる? 雑談君は、まさに論理思考ゼロの万年小学生パクチーだなwww まず、そんなパクチーなことはできません そして、そんなパクチーなことをしなくても ω={{},{{}},{{{}}},…} とすればいいだけ シングルトンに固執する雑談君が🐎🦌www >>383 >B:={Φ ,{Φ},{Φ ,{Φ}},・・・}が無限列で、 >{Φ ∈{Φ}∈{Φ ∈{Φ}}∈・・・}と無限上昇列になるよ はい、🐎🦌www {Φ ∈{Φ}∈{Φ ∈{Φ}}∈・・・} と書いた瞬間 最低最悪の大🐎🦌 もし、君が Φ ∈{Φ}∈{Φ ,{Φ}}∈・・・ と書いたら、何も言わなかった しかし、その外側に{}をつけて{Φ ∈{Φ}}と書いたから 「こいつ、論理的思考能力ゼロの人間失格の野獣だなwww」 と罵った おまえ、論理分からん🐎🦌なの? >>383 >∃ A(Φ ∈ A∧∀ x∈ A(x∪{x}∈ A)) これは問題ない そして、x∪{x}を、{x}に置き換えたものも問題ない ∃ B(Φ ∈ B∧∀ x∈ B({x}∈ B)) Bは以下の無限集合になる B={{},{{}},{{{}}},…} 一方、以下のCを、雑談君はどういう論理式で表すつもりか? C=・・・{{{}}}・・・ いっとくが、{}も{{}}も{{{}}}も・・・何一つ、Cの要素ではないぞ 分かるか?ん?わ・か・る・か? 大学1年4月の実数の定義で早速落ちこぼれた 大阪のパクチー🐎🦌野郎 雑談く~んwwwwwww >>384 >おサルは、頭腐ってんのか? そういう雑談君は、頭蓋骨の中身カラッポだろ 脳ミソ1gもないのか?www >基礎の公理が禁止している集合は、例えば、 >1)x ∈x >2)・・∈xn∈・・∈x2∈x1∈x0 >がその例だよ? で? {}∈{{}}∈{{{}}}∈・・・∈・・・{{{}}}・・・ は、問題ないと? では聞くが、・・・{{{}}}・・・の唯一の要素はズバリ何かね? ここに書き切って見せてくれるかね? 書けないがね 書けたら貴様は正真正銘の🐎🦌として死ぬまで嘲笑されるがね 人間失格の畜生として死ぬまで嗤われたいかね? そうなりたいなら、止めないぞ それがお前の幸せだというならなwwwwwww >>385-396 ID:NP+Si4Fbの完全勝利www 雑談君の完全敗北www 雑談君は即刻焼死してくださいね キミの肉は我々がおいしくいただいてあげるので 何も心配しなくていい 安心して焼死したまえ 🐎🦌君wwwwwww >>355 追加 基礎の公理は、下記”整礎関係:二項関係が整礎(せいそ、英: well-founded)であるとは、真の無限降下列をもたないことである” と関係している ”集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、∈ が x の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである” ”帰納法と再帰:整礎関係が興味深い重要な理由は、それによって超限帰納法の一種が考えられることにある” モストフスキ崩壊補題というものがある。下記”クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる” 基礎の公理は、∈関係を、下記「反射的順序関係 ≦ を考える代わりに、整礎関係となる < を用いるということである」 つまり、基礎の公理は、∈関係で等号(=)を認めないということ なお、「X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。なんとなれば、任意の正整数 n に対して ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1 という鎖は長さ n を持つ。」が、無限の上昇列が、基礎の公理と矛盾しないという説明です(^^ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82 整礎関係 二項関係が整礎(well-founded)であるとは、真の無限降下列をもたないことである。 定義 集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。(関係 R がさらに集合的であることを仮定する著者もいる[2]。X が集合であればこれは自動的に成り立つ。)つまり、S の元 m であって、S の任意の元 s に対して対 (s, m) は R に属さないようなものが存在する。式で書けば ∀ S⊆ X(S≠ Φ → exists min S;;∀ sin S;,(s,m)notin R).} ∀ S⊆ X;,(S≠ Φ → exists min S;;∀ sin S;,(s,m)notin R).} X が集合であるとき、従属選択公理(英語版)(これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い)を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。 つづく >>411 つづき つまり、X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなものはとれない。 順序集合論(英語版)では、半順序に対応する真の順序 (strict partial order) が整礎関係となるとき、その半順序を整礎(整礎半順序)と呼ぶ。全順序がこの意味で整礎であるとき、整列順序と呼ぶ。 集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、∈ が x の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。 関係 R が X 上で逆整礎 (converse well-founded) または上方整礎 (upwards well-founded) であるとは、R の逆関係 R^-1 が X 上の整礎関係であるときにいう。 帰納法と再帰 整礎関係が興味深い重要な理由は、それによって超限帰納法の一種が考えられることにある。すなわち (X, R) が整礎関係で P(x) が X の元に関する何らかの性質であるときに、 P(x) が X の「すべての」元に対して満たされることを示すには、以下を示せば十分である。 x を X の元とするとき、y R x なる全ての y に対して P(y) が真であるならば P(x) は必ず真である。つまり、 略 が成り立つ。 このような整礎帰納法 (well-founded induction) は、エミー・ネーターにちなんでネーター帰納法 (Noetherian induction) とも呼ばれることがある[4]。 つづく >>412 つづき 帰納法と同様に、整礎関係は超限再帰による対象の構成も保証する。(X, R) が集合的整礎関係で F が X の元 x と X の始切片 {y | y R x} 上の函数 g の組に対して対象 F(x, g) を割り当てる函数とすると、函数 G が一意的に存在して、任意の x ∈ X に対して G(x)=F(x,G|y|yRx) が満たされる。つまり、X 上の函数 G を構成しようとするとき、G(x) を y R x なる y に対する値 G(y) を利用して定義することができる。 例として、整礎関係 (N, S) を考える。ここで N は自然数全体のなす集合で、S は後者函数 x → x + 1 のグラフとする。S 上の帰納法は通常の数学的帰納法であり、S 上の再帰は原始再帰を与える。順序関係 (N, <) からは完全帰納法 (complete induction) と累積帰納法 (course-of-values recursion) が得られる。 (N, <) が整礎関係であるという言明は整列原理としても知られる。 ほかにも重要な整礎帰納法の特別の場合がある。整礎関係として順序数全体のなす類上の通常の順序を考えれば、超限帰納法 (transfinite induction) と呼ばれる手法が得られるし、整礎集合として再帰的に定義されるデータ構造からなる集合をとれば、構造的帰納法 (structural induction) が考えられる。あるいは普遍類上の帰属関係を整礎関係に選べば∈-帰納法として知られる帰納法が定まる(詳細は各項に譲る)。 つづく >>413 つづき 例 整礎でない関係の例 ・負整数全体 {-1, -2, -3, …} の通常の順序。任意の非有界部分集合が最小元を持たない。 ・有理数全体(または実数全体)の標準的な順序(大小関係)。たとえば、正の有理数(または正の実数)全体は最小元を持たない。 その他の性質 (X, <) が整礎関係で x が X の元ならば、x から始まる降鎖列は必ず長さ有限だが、これはこのような降鎖の長さが有界であるということを意味しない。 以下のような例を考えよう。X は正の整数全体の成す集合に、どの整数よりも大きな整数ではない新しい元 ω を付け加えた集合とする。 このとき X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。なんとなれば、任意の正整数 n に対して ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1 という鎖は長さ n を持つ。 モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma) によれば、集合要素関係 (set membership) は普遍的な整礎関係である。 つまり、クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる。 反射関係の整礎性 関係 R が反射律を満たすとは、R の始域の任意の元 a に対して a R a が満たされることである。任意の定値列は(広義の)降鎖であるから、始域が空でない任意の反射関係は無限降鎖をもつ。例えば、自然数の全体に通常の大小関係による順序 ≦ を考えれば 1 ≧ 1 ≧ 1 ≧ ? は無限降鎖になる。反射関係 R を扱う際には、この手の自明な降下列を取り除くために、普通は(しばしば陰伏的に) a R′b ⇔ a R b かつ a ≠ b で定義される関係 R′ を代わりに利用する。先ほどの自然数の例で言えば、反射的順序関係 ≦ を考える代わりに、整礎関係となる < を用いるということである。 つづく >>414 つづき https://en.wikipedia.org/wiki/Well-founded_relation Well-founded relation In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x. The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded. A relation R is converse well-founded, upwards well-founded or Noetherian on X, if the converse relation R^-1 is well-founded on X. In this case R is also said to satisfy the ascending chain condition. In the context of rewriting systems, a Noetherian relation is also called terminating. There are other interesting special cases of well-founded induction. When the well-founded relation is the usual ordering on the class of all ordinal numbers, the technique is called transfinite induction. When the well-founded set is a set of recursively-defined data structures, the technique is called structural induction. When the well-founded relation is set membership on the universal class, the technique is known as ∈-induction. See those articles for more details. Other properties If (X, <) is a well-founded relation and x is an element of X, then the descending chains starting at x are all finite, but this does not mean that their lengths are necessarily bounded. Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer. Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1 has length n for any n. The Mostowski collapse lemma implies that set membership is a universal among the extensional well-founded relations: for any set-like well-founded relation R on a class X which is extensional, there exists a class C such that (X, R) is isomorphic to (C, ∈). つづく >>415 つづき Application Every set model of ZF is set-like and extensional. If the model is well-founded, then by the Mostowski collapse lemma it is isomorphic to a transitive model of ZF and such a transitive model is unique. Saying that the membership relation of some model of ZF is well-founded is stronger than saying that the axiom of regularity is true in the model. There exists a model M (assuming the consistency of ZF) whose domain has a subset A with no R-minimal element, but this set A is not a "set in the model" (A is not in the domain of the model, even though all of its members are). More precisely, for no such set A there exists x in M such that A = R-1[x]. So M satisfies the axiom of regularity (it is "internally" well-founded) but it is not well-founded and the collapse lemma does not apply to it. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E5%B4%A9%E5%A3%8A%E8%A3%9C%E9%A1%8C モストフスキ崩壊補題 概要 モストフスキ崩壊補題はこのようなRに対して、推移的クラス(真のクラスでもよい)M で(M,∈)と(X, R)が同型となるものが一意的に存在し、その同型対応も一意的であるという命題である。その同型対応Gは G(x)={G(y):yRx}で与えられる。この関数をモストフスキ崩壊関数という。(Jech 2003:69). 一般化 この補題の整礎性の仮定は、整礎性を使わない集合論では緩和したり外したりすることができる。 ボッファの集合論では、集合状かつ外延的な関係は推移的クラス(一意的ではない)上の∈-関係と同型になる。アクゼルの反基礎公理をもつ集合論では集合状な関係はそれぞれ一意的な推移的クラス上の∈-関係とbisimilar(双模倣的)である。 このことから、bisimulation-極小な集合状関係は何かしらの一意的な推移的クラスと同型である。 つづく >>416 つづき 応用 ZFの集合モデルは集合状かつ外延的である。 モデルが整礎的なら本補題により、ZFの推移的モデルと一意的に同型である。 ZFのあるモデルの∈-関係が整礎的であるというのは、そのモデル内で正則性公理が成立するという主張よりも強いことに注意。 ZFは無矛盾であるとの仮定の下で、ZFのモデルMで、 その論議領域にR-極小要素をもたない部分集合AをもつがAはそのモデル内で集合でないというものがある。(Aの要素が全て議論領域内にあってもAはモデルの議論領域内に無い。) もっと正確には、そうでない集合AにはMの要素xでA = R-1[x]となるものが存在する。だからMは正則性公理を満たす(内部的には整礎的である)が、Rは整礎的関係でなく、この崩壊補題も適用できない。 https://en.wikipedia.org/wiki/Mostowski_collapse_lemma Mostowski collapse lemma Application Every set model of ZF is set-like and extensional. If the model is well-founded, then by the Mostowski collapse lemma it is isomorphic to a transitive model of ZF and such a transitive model is unique. Saying that the membership relation of some model of ZF is well-founded is stronger than saying that the axiom of regularity is true in the model. There exists a model M (assuming the consistency of ZF) whose domain has a subset A with no R-minimal element, but this set A is not a "set in the model" (A is not in the domain of the model, even though all of its members are). More precisely, for no such set A there exists x in M such that A = R-1[x]. So M satisfies the axiom of regularity (it is "internally" well-founded) but it is not well-founded and the collapse lemma does not apply to it. (引用終り) 以上 >>403 電波星人さん、どうもありがとう お元気そうで、なによりです(^^ >>402 ID:1lEWVa2sさん、どうも お元気そうで、なによりです(^^ >>373 >そして、標準的な解析では、リーマン球面の昔から、∞を当然の如く導入しますよ 解析では、∞は当然です。(下記)(^^; https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8A%E6%A5%B5%E9%99%90%E3%81%A8%E4%B8%8B%E6%A5%B5%E9%99%90 上極限と下極限 数列(以下単に数列と言ったら実数列のことを指すものとこの記事においてはする) (an)n∈N の上極限(じょうきょくげん、英語: limit superior)および下極限(かきょくげん、英語: limit inferior)とは、nを無限に大きくしていったときの数列の挙動から決まる実数であり、この数列の極限に(ある意味で)なりうる値を上と下からおさえるために使われる。 性質 数列 (an) の上極限と下極限は(無限大をとることを許せば)必ず存在する。これは極限値が存在するかどうか分からないのと対照的である。 https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_inferior_and_limit_superior Limit inferior and limit superior The case of sequences of real numbers In mathematical analysis, limit superior and limit inferior are important tools for studying sequences of real numbers. Since the supremum and infimum of an unbounded set of real numbers may not exist (the reals are not a complete lattice), it is convenient to consider sequences in the affinely extended real number system: we add the positive and negative infinities to the real line to give the complete totally ordered set [-∞,∞], which is a complete lattice. Properties As mentioned earlier, it is convenient to extend {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} to [-∞,∞]. (Note that when working just in {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} , convergence to -∞ or ∞ would not be considered as convergence.) (引用終り) 以上 >>414 >このとき X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。 下記レーヴェンハイム-スコーレムの定理より 「定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す」です (”The proof of the upward part of the theorem also shows that a theory with arbitrarily large finite models must have an infinite model”) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 レーヴェンハイム-スコーレムの定理とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。 定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一部とする場合もある。 例と帰結 レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。例えば、真の算術 (true arithmetic) には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ。さらに悩ましかったのは、集合論の可算なモデルの存在である。それにもかかわらず、集合論は実数が非可算であるという文を満たさなければならない。この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ、可算性 (countability) は絶対的 (absolute) ではないことを示している。 https://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6wenheim%E2%80%93Skolem_theorem Lowenheim-Skolem theorem Consequences The proof of the upward part of the theorem also shows that a theory with arbitrarily large finite models must have an infinite model; sometimes this is considered to be part of the theorem. (引用終り) 以上 >>421 おサルとその仲間は 無限とか、基礎の公理(正則性公理)とか 誤解という以前、さっぱり分かってないね〜(^^; >>411-417 雑談君は自分の主張のどこが間違ってるか全然わかってませんね モストフスキ以前にそもそも 「ツェルメロ構成のωがシングルトン」だとしたら、 ωから{}に至る有限長の∈降下列が存在し得ない 存在するなら示してごらん {}から{}を重ねていったシングルトンで 有限長だというだけで自然数になってしまうから こんな簡単なことに気づけないとか 正真正銘のパクチーですか? 雑談君はwww >>420 リーマン球面とかいう🐎🦌の一つ覚えは無関係だから永遠に忘れていいよ どうせ複素解析とか全然理解できなかったパクチーなんでしょ? >>421 レーヴェンハイム-スコーレムとか、トンチンカンなこという以前に シングルトンのωから{}への任意有限長の∈降下列 一つでいいからしめしてごらん 一つも示せないでしょ?雑談君、君は正真正銘の🐎🦌なの? 大阪大学卒だろうがなんだろうが数学では完全なパクチーなの もう黙って数学板から退散してね 匿名でも一切書き込むなよ 数学板が🐎💩🦌💩の悪臭で耐えられなくなるからwwwwwww >>422 その言葉 大学1年の4月の実数の定義(デデキント切断&カントールの基本列) が全く理解できずに数学で落ちこぼれたパクチーの雑談君に そっくりそのままお返しするよwwwwwww 雑談君の誤りは以下の通り 「ツェルメロ構成において、 ”後続順序数がシングルトンだ、だから 極限順序数もシングルトンであるべきだ!” と非論理的に脊髄反射したこと」 そんな必要ないんだよ 🐎ぁぁぁぁぁ🦌 極限順序数は無限集合でいいじゃん アタマ悪い、っつうか、オカシイwww
>>421 補足 ”近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある”のです(下記) ところで、我々の日常の数学では、普通に二階述語論理を使っている、多分意識せずにね 一方、ZFCは一階述語論理に限定されている そこは、ちょっと意識しておく必要があるだろう (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86 二階述語論理(にかいじゅつごろんり、英: second-order predicate logic)あるいは単に二階論理(にかいろんり、英: second-order logic)は、一階述語論理を拡張した論理体系であり、一階述語論理自体も命題論理を拡張したものである[1]。二階述語論理もさらに高階述語論理や型理論に拡張される。 一階述語論理と同様に議論領域(ドメイン)の考え方を使う。ドメインとは、量化可能な個々の元の集合である。一階述語論理では、そのドメインの個々の元が変項の値となり、量化される。例えば、一階の論理式 ∀x (x ≠ x + 1) では、変項 x は任意の個体を表す。二階述語論理は個体の集合を変項の値とし、量化することができる。例えば、二階の論理式 ∀S ∀x (x ∈ S ∨ x ? S) は、個体の全ての集合 S と全ての個体 x について、x が S に属するか、あるいは属さないかのどちらかであるということを主張している。最も一般化された二階述語論理は関数の量化をする変項も含んでいる(詳しくは後述)。 二階論理の表現能力 二階述語論理は一階述語論理よりも表現能力が高い。 空でなく上に有界な実数の集合があるとき常にその集合には上限が存在するという命題を表すには、二階述語論理が必要となる。 二階述語論理では、「ドメインは有限である」とか「ドメインは可算無限集合の濃度である」といった文も形式的に表現可能である。ドメインが有限であるというには、そのドメインから同じドメインへの全ての単射関数が全射であることを論理式で表せばよい。ドメインが可算無限集合の濃度であることをいうには、そのドメインの任意のふたつの無限部分集合間に全単射があることを論理式で表せばよい。一階述語論理ではこれら(「有限集合であること」や、「可算集合であること」)を表現できないことが、レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる。 つづく >>428 つづき 二階論理とメタ論理学の成果 ゲーデルの不完全性定理の系の1つとして、以下の3つの属性を同時に満足するような二階述語論理の推論体系は存在しないとされた[4]。 ・(健全性)証明可能な二階述語論理の文は常に真である。すなわち standard semantics に従ったあらゆるドメインで真である。 ・(完全性)standard semantics において常に妥当な二階述語論理の論理式は、全て証明可能である。 ・(実効性)与えられた論理式の並びが妥当な証明かどうかを正しく決定できる証明検証アルゴリズムが存在する。 この系を言い換えると、二階述語論理は完全な証明理論に従わない、とも言える。この観点で、standard semantics を伴った二階述語論理は一階述語論理とは異なり、そのせいもあって論理学者は長年、二階述語論理に関わることを避けてきた。ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインは二階述語論理は「論理」ではないと考える理由としてこれを挙げている[5]。 上述のように Henkin は Henkin semantics を使えば二階述語論理に一階述語論理の標準的な健全で完全で実効的な推論体系を適用できることを証明した。 歴史と論争 近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある。この傾向をもたらしたのは George Boolos による二階の量化の解釈であり、彼は一階の量化と同じドメインでの複数形の量化として二階の量化を解釈した。Boolos はさらに一階述語論理では記述できない文を例に挙げ、完全な二階述語論理の量化でのみそれらを表現可能であるとした。 (引用終り) 以上 >>428-429 やれやれ、今度は二階論理か 二階クンは、全力でオリンピック中止するように いいね? VIDEO ;ab_channel=ANNnewsCH >>411 >なお、「X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。なんとなれば、任意の正整数 n に対して >ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1 >という鎖は長さ n を持つ。」が、無限の上昇列が、基礎の公理と矛盾しないという説明です(^^ つっこみどころ多過ぎて大草原 ・なんで任意有限がいきなり無限になるの?バカ? そのトンデモ論法によると「Nには任意有限の自然数が属すから∞も属す」になっちゃうよ?w ∞は自然数と思ってるの?バカ? ・無限の上昇列は基礎の公理と矛盾しないよw 矛盾するのは無限の下降列w ・基礎の公理とまっっっっっっっっったく関係無く、最後の項がある無限列なんてものは存在しない。 実際君、あれほど念押ししたにもかかわらず下記から逃げてるよね? >無限上昇列 0∈1∈…∈ω が存在すると言うなら、ωの直前の項を答えて下さいねー はい、もうそろそろ自分の馬鹿さ加減を自覚して下さいねー >>411 補足 >基礎の公理は、下記”整礎関係:二項関係が整礎(せいそ、英: well-founded)であるとは、真の無限降下列をもたないことである” (>>270-270 より再録) 1.可算無限個の箱の列 □1,□2,・・□n,・・ ( n∈N) を作る。nは全てのNを渡る。∵箱は可算無限 2.逆向きの列 ・・□n,・・□2,□1 も可能 3.両方を合わせて、・・□n,・・□2,□1 {} □1,□2,・・□n,・・ とできる(間に {}を置いた) 4.左の箱を"{"で、右の箱を"}"で置換すると ・・{n,・・{2,{1 {} }1,}2,・・}n,・・ とできる 5.添え字と”,”(カンマ)を取ると ・・{・・{{{}}}・・}・・ とできる。明らかに{}が、加算多重になっている この場合、最外層{}なるものは存在しないが、なんの不都合もない 6.さらに、3項で左右の無限個の箱の列を入れ換える □1,□2,・・□n,・・ {} ・・□n,・・□2,□1とできる 7.上記4,5と同様にして {{・・{・・ {} ・・}・・}}とできる。明らかに{}が、加算多重になっている この場合、最外層{}なるものは存在するが、本質は上記6同様 (なお、最内層の{}が添え字 n・・を消す前の状態で「集積点」(下記)になっていると、考えることができる) (参考 ツェルメロのシングルトンによる自然数の構成) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 自然数 ペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。 例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、 0 := {} 1 := {0} = {{}} 2 := {1} = {{{}}} 3 := {2} = {{{{}}}} と非常に単純な自然数になる。 (引用終り) さて ツェルメロのシングルトンによる自然数の構成 3 := {2} = {{{{}}}} ・・などで 明らかに、0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・ となる これは、有限列ではない ∵ ペアノの公理による自然数の構成であり、もし有限列で終われば、自然数の集合Nに不足する これは上昇列であって、基礎の公理に反しない上昇無限列である この極限としてlim n→∞ を考えれば、加算無限シングルトンになる これは、当然基礎の公理に反しない上昇無限列である 以上 >>420 >>そして、標準的な解析では、リーマン球面の昔から、∞を当然の如く導入しますよ >解析では、∞は当然です。(下記)(^^; >https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8A%E6%A5%B5%E9%99%90%E3%81%A8%E4%B8%8B%E6%A5%B5%E9%99%90 >上極限と下極限 >数列(以下単に数列と言ったら実数列のことを指すものとこの記事においてはする) (an)n∈N の上極限(じょうきょくげん、英語: limit superior)および下極限(かきょくげん、英語: limit inferior)とは、nを無限に大きくしていったときの数列の挙動から決まる実数であり、この数列の極限に(ある意味で)なりうる値を上と下からおさえるために使われる。 >性質 >数列 (an) の上極限と下極限は(無限大をとることを許せば)必ず存在する。これは極限値が存在するかどうか分からないのと対照的である。 それはただ単に「∞に発散する」を「極限∞に収束する」に言い方を変えてるだけw ∞という実数を導入している訳じゃないw 検索しかできない馬鹿に数学は無理w >>432 追加 (引用開始) ツェルメロのシングルトンによる自然数の構成 3 := {2} = {{{{}}}} ・・などで 明らかに、0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・ となる これは、有限列ではない ∵ ペアノの公理による自然数の構成であり、もし有限列で終われば、自然数の集合Nに不足する これは上昇列であって、基礎の公理に反しない上昇無限列である この極限としてlim n→∞ を考えれば、加算無限シングルトンになる これは、当然基礎の公理に反しない上昇無限列である (引用終り) この上昇無限列は、ノイマン構成でそのまま成り立つ つまり、ノイマン構成で 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・ となる これは、有限列ではない ∵ ペアノの公理による自然数の構成であり、もし有限列で終われば、自然数の集合Nに不足する これは上昇列であって、基礎の公理に反しない上昇無限列である ノイマン構成で、自然数の集合Nができる。これは、極限順序数ωでもあり、加算無限濃度”アレフ0”の最小集合でもある 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ωとできる。下記の通りです(^^; (参考 >>376 より再録 ) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 順序数 順序数の大小関係 順序数の並び方を次のように図示することができる: 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), .............................. まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数(自然数)が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。 (引用終り) 以上 >>432 >ツェルメロのシングルトンによる自然数の構成 >3 := {2} = {{{{}}}} ・・などで >明らかに、0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・ となる >これは、有限列ではない >∵ ペアノの公理による自然数の構成であり、 >もし有限列で終われば、自然数の集合Nに不足する >これは上昇列であって、基礎の公理に反しない上昇無限列である >この極限としてlim n→∞ を考えれば どう極限を取るの? ただ、漫然と{}が無限個、とかいってるなら 正真正銘の🐎🦌だよ 🐎🦌でないなら「{}が無限個」以外の方法を使う 例えば >>408 でも書いた以下の集合B ∃ B(Φ ∈ B∧∀ x∈ B({x}∈ B)) なんで、シングルトン以外は間違い、とか🐎🦌なこといってるの? 雑談君は精神異常かな?統合失調症? 毎日「♪ダーメダメダメダメ人間、ダーメニンゲーン」とか 幻聴聞こえるの? >>434 >ノイマン構成で、自然数の集合Nができる。 >これは、極限順序数ωでもあり、加算無限濃度”アレフ0”の最小集合でもある >0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ωとできる。 3行目 不正確ね 正確にはこう書ける 「任意の自然数nについて 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈ωとできる。」 誤魔化したら🐎🦌になるよ パクチー雑談く~んwww ノイマンのωでは、任意の自然数nを要素に持つ だ・か・ら、n∈ω、とできる 雑談君のウソωは、いかなる自然数nも要素に持たない だ・か・ら、n∈ω、とできない 🐎🦌だねぇwwwwwww
>>432 >ツェルメロのシングルトンによる自然数の構成 3 := {2} = {{{{}}}} ・・などで >明らかに、0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・ となる >これは、有限列ではない ∵ ペアノの公理による自然数の構成であり、もし有限列で終われば、自然数の集合Nに不足する ペアノの公理は関係無いw >これは上昇列であって、基礎の公理に反しない上昇無限列である そもそもいかなる無限上昇列も基礎の公理に反しないw ぜんぜん分かってないw 「最後の項がある無限上昇列」は基礎の公理となんの関係も無く存在しないw >この極限としてlim n→∞ を考えれば、加算無限シングルトンになる ならないw 極限を考えればって、0,1,2, … に極限は無いw 無いものが見える君は幻覚症だから今すぐ精神病院へGO! >これは、当然基礎の公理に反しない上昇無限列である ω∈ω+1∈ω+2∈… なる無限上昇列が存在するが、ωは基礎の公理に反しない。「起訴の公理が無限上昇列を禁止してない」とはこのような意味だw おまえが言ってるのは {} に対する無限上昇列だw 阿呆w 「最後の項がある無限上昇列」は起訴の公理となんの関係も無く存在しないw 阿呆w 存在すると言うならなぜ>>396 から逃げるのか? 起訴の公理は無限下降列は禁止しているが無限上昇列はそもそも禁止していないw 阿呆w 何重にも分かってないw 馬鹿にも限度があるw 阿呆の瀬田くんの偽ω={ω}と違い、真ωの元は自然数だから、 ωから0へ至る∈下降列はどんなに長くても ω∋n∋…∋1∈0 の形に限られる。つまり有限長。 よってωは基礎の公理に反しない。 一方、ω∈ω+1∈ω+2∈… なる無限上昇列が存在するが、そもそも基礎の公理は無限上昇列を禁止していない。
>>438 雑談君は、自分が無限を全く分かってないことが分かってない そして、 モストフスキ―がー、スコーレム・レーヴェンハイムがー、二階がー と、何一つ自分が分かってない知識をコピペで誤魔化して 「マウント」を仕掛けるwww 🐎🦌のくせに他人にマウントしたがる自己愛性人格障害者 それが雑談君 日本の三大自己愛💩といえば 小保方晴子、小室圭、雑談君 要するに阿呆の瀬田くんは 「集合xに無限下降列が存在してもxは正則性公理に反しない」 が間違いだと認められないだけ。 だから「最後の項がある無限上昇列」の捏造を繰り返すw 「最後の項がある無限上昇列」なんてものは無い。有るなら>>396 から逃げる必要は無いw 雑談君は「∈」の意味が全然分かってないね ∈は左と右に具体的な項が配置されて、はじめて意味をもつ x∈yとあれば「xは(集合)yの要素である」の意味 だから・・・∈xという誤魔化しは一切通用しないし それが分からないなら、集合論の初歩も分からん🐎🦌
>>434 (引用開始) この上昇無限列は、ノイマン構成でそのまま成り立つ つまり、ノイマン構成で 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・ となる これは、有限列ではない ∵ ペアノの公理による自然数の構成であり、もし有限列で終われば、自然数の集合Nに不足する これは上昇列であって、基礎の公理に反しない上昇無限列である ノイマン構成で、自然数の集合Nができる。これは、極限順序数ωでもあり、加算無限濃度”アレフ0”の最小集合でもある 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ωとできる。下記の通りです(^^; (引用終り) 基礎の公理(正則性公理)で、ノイマン氏がやろうとしたことは、下記 1.∈の整礎関係(>>411 )です。つまり、"真の無限降下列をもたない"にすること。これで、帰納法などが使えるようになる(>>412 ) 2.基礎の公理(正則性公理)では、”∈関係で等号(=)を認めないということ”(>>411 より) これで、自明な降下列(”1 ≧ 1 ≧ 1 ≧・・”のような)を、取り除ける(>>415 ) です そして、(>>414-417 ) "集合要素関係 (set membership) は普遍的な整礎関係"です(モストウスキーの崩壊補題>>414 ) つまり、クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる 0<1<2<3・・<n-1<n<・・<ω ↓↑ 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω です こう見ると、これは何の不思議もない 基礎の公理が禁止しているのは、無限上昇列でないことは、あたりまえです!!(^^; 以上 >>432 >2.逆向きの列 ・・□n,・・□2,□1 も可能 不可能w 初項が無ければ列の定義を満たさないw X列とは関数φ:N→Xだw φ(0)が未定義ならφは関数に非ずw 定義域のどの元にも写像先が存在しなければならないと教わらなかったか?w >>443 また逃げた >0<1<2<3・・<n-1<n<・・<ω ωの一つ前は? >0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω ωの一つ前は? 早く答えて下さいねー >>443 雑談君は、モストフスキがー、と🐎🦌の一つ覚えでわめいてるが そもそも、モストフスキは全然関係ない まず >0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω の「n∈・・∈ω」が間違ってる n∈ω が正しい そして >0<1<2<3・・<n-1<n<・・<ω の「n<・・<ω」も間違ってる n<ω が正しい こんな初歩的なことすら、理解できんのか? このパクチー🐎🦌野郎が >>443 >基礎の公理が禁止しているのは、無限上昇列でないことは、あたりまえです!!(^^; まず上昇列から分かってないw ωの上昇列とはωを起点にした上昇列だw ω∈ω+1∈ω+2∈… はωの無限上昇列w 一方 >0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω は0が起点だからωの上昇列ではなく、尚且つ、∈ωの前は自然数、つまり無限上昇列でもないw 馬鹿丸出しw >>376 >>もし∞=∞+1なら、∞={∞}となり、基礎の公理と矛盾します。 >そこ違うよ。下記拡大実数では、”a + ∞=+ ∞”成立ですよ 追加 ∞=∞+1 から、両辺に - ∞ を施して ∞ - ∞=∞+1 - ∞ で、0=+1も導けない ∵”∞ - ∞”は、一般に不定形とされるから(下記) (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0 拡大実数 算術演算 所謂不定形の式(英語版) ∞ - ∞, 0 × (±∞), ±∞?±∞ などはやはり意味を成さない(英語版)とするのが普通である。 これらの規約は函数の無限大に関する極限についての法則をモデル化するものになっているが、 確率論および測度論ではさらに、"0 × (±∞) = 0" を規約に追加することが多い(確定した 0 を掛けた 0 × (有限) の形の式の極限としての意味を持つことが多いため[2])。 また、数式 1/0 は +∞ とも -∞ とも定めることができない。これは連続函数 f(x) が f(x) → 0 を満たすとすると、これは逆数函数 1/f(x) が集合 -∞, +∞ の任意の近傍に殆ど含まれる (eventually contained in) ことは意味するけれども、必ずしも 1/f(x) が -∞ か +∞ の何れか一方に収斂することを意味しないことによる(それでも、その絶対値 |1/f(x)| は +∞ へ近づく)。何となれば f(x) = 1/(sin(1/x)) を考えるとよい。 https://en.wikipedia.org/wiki/Indeterminate_form Indeterminate form There are seven indeterminate forms which are typically considered in the literature:[2] 0/0,∞/∞ ,0x∞ ,∞-∞ ,0^0,1^∞ ,and ∞^0. >>451 実数論で落ちこぼれた君が拡大実数なんて持ち出しても まず実数論を履修しては?