高校生でも分かる「集合論入門」スレ [無断転載禁止]©2ch.net

「偶数と整数の個数が同じ」だとか
「自然数よりも実数の方が個数が多い」みたいなことを話だけなら聞いたことがあるかもしれない
その辺の所謂「集合の濃度」の話を高校生でも分かるように説明しようと思う

わーいぱちぱち

自然数も実数も無限だから同じじゃね

>>3
無限にも大小があるという話

発散の速度みたいな話かな！！

間違ってるところあったら直してやるから
安心して書き込め

まだかいな

全然しらんけど
べき集合を作ると濃度の段階というか格的な何かが一つ上がるとかそんな感じの結論でしょ？

まず簡単な例として有限の場合を考えてみようと思う

具体例として3点集合A={a1,a2,a3}と5点集合B={b1.b2.b3.b4.b5}があったとしよう
ここでAの各元をBの元のうちどれかに対応させるようなものを考えてみる
例としてはf(a1)=b1,f(a2)=b2,f(a3)=b3みたいな対応fが考えられる
(このようなfを集合Aから集合Bへの写像という)

>>9
ここまで正しいよ
続けて

関数と写像ってどう違うの？

>>9
わからない

>>11
厳密に話すと複雑になるから割愛するが
写像の方が若干広い概念

{X｜X∉X}

面白そう

このとき写像fはどんなAの元aに対してもf(a)=b4またはf(a)=b5とはなっていないとこが分かると思う
3点集合Aから5点集合Bへの対応を考えれば最低でも対応しない2点が出てくるのは当たり前だが、このように集合Aよりも集合Bの方が"大きい"ことを
「集合Aから集合Bへのどんな対応を考えても集合Bの対応しない元が出てくること」だと理解することが出来ると思う

へえ
大体同じと捉えておく

>>11
fが集合Aから集合Bへの写像だとして
特にB=R(実数全体)の場合fを(実数値)関数という
また、B=C(複素数全体)の場合にもfを(複素数値)関数といったりする

普通にちゃんとしててワロタ
数学科生かな？

複素数より広い集合を知らないからピンとこないけどなるほど

>>20
四元数とかが有名だよ

へー四元数って初めて知った
相対論の計量テンソルみたいだね

逆に集合Bから集合Aへの写像を考えてみると
例えばf(b1)=a1,f(b2)=a2,f(b3)=a3,f(b4)=a3,f(b5)=a3
という写像fを考えてみると、これはAのどの元にも対応していることが分かると思う
集合Aよりも集合Bが"大きい"ことを
「集合Bから集合Aへの写像fで、Aの元で対応しないものが無いようなものが存在する」と理解することも出来る
イメージ的には集合Bで集合Aを"覆える"なら集合Bは集合Aよりも大きいだろう、という感じ

1はさっき東大のスレ立ててた人だよ

>>24
あーあの人か
さすが先輩っす

写像はある引数に対して多価になってもいいの？

>>26
ダメよ、ダメダメ

>>6
何様だよ

>>28
悪かったな

俺も東大の院で数学やってたもんで…

上の例でみたように2つの集合A,Bの大小を考えるのには
「集合Aから集合Bへの写像で集合Bのどんな元にも対応するようなものが存在するのかどうか」が鍵になりそうな感じである

なので
「集合Aから集合Bへの写像で集合Bのどんな元にも対応するようなものが存在する」
という性質を数学用語で名付けたいと思う
これを一般に「集合Aから集合Bへの全射が存在する」と言う

定義:
集合Aから集合Bへの写像fが全射であるとは、
どんなBの元bを選んでもあるAの元aがあってf(a)=bが成立することをいう

>>26
多価関数という概念はあるがここでは写像は飛ぶ先の集合の唯一つの元に対応させるものを考える

>>30
お前のクソみたいな自己顕示欲承認欲求は東大関係ねーよ巻き込むな

分かりにくいところあったらちゃんと説明するから遠慮せず指摘してくれ

逆写像みたいなのは思い浮かべない方がいいのねおっけー

さて、全射という概念が定義されると自然数n,mに対してn≧mであることを次のように言い換えることも出来る

命題:
自然数n,mに対して
n≧m⇔n元集合Aからm元集合Bへの全射が存在する



例えば集合{1,2,3,4,5,6}から集合{1,3,5,7}への写像fをf(1)=1,f(2)=3,f(3)=5,f(4)=f(5)=f(6)=7で定めればこれは全射だが
実際6≧4である

>>33
イキるな低学歴

>>23
数学の偏差値が30代だった俺はこの時点でわからん
b3=a3、b4=a3ってb3=b4にならんの

書き溜めているわけではないみたい？

>>38
2次関数覚えてる？
実数xにたいして、x^2を対応させる関数を考えると、
-1の2乗も1の2乗も1だけど、-1と1は違う数じゃん

関数で言えばy=sinxでy=0となるxは0,π,2π…とあるのと同じ感覚だと思ってる

そろそろ集合の濃度の大小及びイコールの関係を定義したいがそれにはもう少し定義する必要がある
それは全射の逆の概念である単射という概念

あれこれ言わず先に定義を書いておくと

定義:
集合Aから集合Bへの写像fが単射であるとは
どんなAの異なる2元a,a'に対してもf(a)≠f(a')が成立することである

要は異なる値を代入したらちゃんと異なる値に飛ぶような写像を単射と言うわけである
何故これが全射の逆なのかというと、それは次の命題をみてもらえれば分かると思う

あっ、ここで否定してくれるんだ

>>38
b3=a3、b4=a3ではなくf(b3)=a3,f(b4)=a3ね
fでb3,b4を飛ばした先の値がどちらもa3ってこと

>>39
書き溜めてないね、ごめん

バナッハタルスキーについての説明よろしく

>>40はRからRへの関数で単射でない例ですね

単射かつ全射のときイコールになるってことかな？

>>44
選択公理はここではあんまり触れない

>>46
先に言ってしまうとそういうことだね

おおわかりよいぞ

よくわからんからベン図で頼む

自然数集合より大きく、実数集合より小さい集合はあると思う？

>>45
全射でもないけどねｗｗｗ
sin (x) =2となる実数xは存在しないからね
タンジェントだとRからRへの全射になる

それは整数集合ではだめなの？

>>39
>>40
うっすらイメージつかめた�d

>>43
そのfで飛ばすってのがわからんよ…
bの値入れた時にaのそれぞれの値と等しくなるような式を仮定するって感じなん？

>>53
f(x) = x/2 (xが偶数)
　　 -(x+1)/2 (xは奇数)
みたいな感じの関数を作ると、自然数から整数への全単射になる

>>51
濃度の話ね

全射f:A→B
∀b∈B,∃a∈A,[ f(a)=b ]

回答まだ？

単射が全射の逆といった理由は以下に命題に依る

命題:集合Aから集合Bへの単射が存在⇔集合Bから集合Aへの全射が存在
(実はこの命題は"選択公理"という大事な公理と同値であり、選択公理を使わないと証明できないのであるがその辺は今回は深く考えたいことにする)

証明)
(→)集合Aから集合Bへの単射fが存在すると仮定する
このとき写像g:B→A(集合Bから集合Aへの写像gの略記)をどんなAの元aに対してもg(f(a))=aを満たすように定義すればこれは全射になる
(fの単射性から各b∈Bに対しb=f(a)となるa∈Aは高々1個なのでこのような写像gを定義することができる)
(←)f:B→Aが全射とする
このときg:A→Bをg(a)∈{b∈B|f(b)=a}(fの全射性からこれは空でない)となるようにとればこれは単射である
実際、a≠a'ならa=f(g(a))≠f(g(a'))=a'よりg(a)≠g(a')

なんで平日の昼に高校生向けのスレ立てたの

暇な大学院生が見とるよ〜

>>54
そうそう
例えばf(x)=x^2なんかもf(-1)=f(1)=1だけどそれは-1=1ってことにはならないよね？
そんな感じ

>>51はよ

>>61
高校生はこの時期期末テスト後じゃね
知らんけど

>>51
個人的には無いと思うが
自然数と実数の間の濃度が非可算個あるようなモデルも普通に作れるし何とも言えないな

>>65
なにこの回答
ちゃんと勉強してる？

濃度の話するのにそんなのもわかってないのかよ
教えられる高校生可哀想

高校生でもわかる集合論っていうスレなのに議題片手に乗り込んであまつさえ回答に文句つけ始めるとか終わってますな
相手にしなくていいので続きお願いします

つまりAからBへの単射があるっていうのはBからAへの全射があるってことなんだ
「AからBへの全射がある」の逆は(数学的な"逆"ではなくあくまでイメージだが)「BからAへの全射がある」
でこれは「AからBへの全射がある」と同値だから全射と単射は逆というか対になってるわけね

ここで全射と単射が定義されたので全単射を定義する

定義:写像f:A→Bが全単射であるとはfが全射かつ単射であること

イメージ的にはAがBをはみ出ることなくピッタリ覆える感じ


全射と単射の例:

f:R→R;f(x)=xは全単射

f:R→R;f(x)=x^3は全単射

f:R→R;f(x)=x^3-3xは全射だが単射でない

f:R→R;f(x)=2^xは単射だが全射でない

f:R→R;f(x)=sinxは全射でも単射でもない

f:R→[-1,1];f(x)=sinxは全射だが単射でない

>>68
そりゃ数学の常識中の常識を分かってない回答したんだから当然
聞くのは勝手だけど以後、こいつの言うことは数学的に正しく無いと思って聞きなさい

>でこれは「AからBへの全射がある」と同値だから全射と単射は逆というか対になってるわけね

訂正
×「AからBへの全射がある」
○「AからBへの単射がある」

>>70
君の方が信用されてないよ😄👍

>>67
どういう解答を期待してたんだ？
独立命題に対してyes/noを断定出来るわけがないのだが

そんな論理性欠いた人の相手しなくていいから続きはよ

>>73
独立命題って分かってるなら、なおさら意味のわからない回答だな
厳密に答えろよ

ここまで来たらようやく集合の濃度の大小イコール関係が定義出来る

定義:
集合Aの濃度が集合Bの濃度より大きい(または等しい)ことを

集合から集合Bへの全射が存在すること

により定義する
これを

|A|≧|B|と表記する

更に、集合Aの濃度と集合Bの濃度が等しいことを

集合Aから集合Bへの全単射が存在すること
(※これは集合Bから集合Aへの全単射が存在することとも同値)

と定義する
これを

|A|=|B|と表記する

>>75
書いた通りだが
俺も通説通りCHを直感的に信じているがℵ0とℵ1の間に濃度が存在するどころか非可算個もっと言えば殆どどんな基数個でも存在するようなモデルが作れることが知られているので何とも言えんって話

上の定義からほぼ自明にわかることをいくつか書いておく

命題:
AからBへの単射が存在⇔BからAへの全射が存在⇔|A|≦|B|

命題:
|A|≧|B|かつ|B|≧|C|なら|A|≧|C|
(全射と全射の合成は全射であることに依る)

命題:Aをn元集合,Bをm元集合とする
n≧m⇔|A|≧|B|
(>>36より)

命題:Aを無限集合,Bを有限集合とすると|A|≧|B|
(無限集合から有限集合への全射があるのは明らか)

>>77
CHなんで直感的に信じてんの？
そこからして意味不明なんだが。むしろ直感的には偽だろ
しかも他のモデルがーとか言ってるってことは、無いと思うってのはZFC内の話？
本当に集合論やってんの？

>>79
俺には何で直感的に偽になるのか分からない
ZFC内の話だよ

>>63
そういうことでいいんかありがとう
一次関数とか二次関数くらいしか知らんから全くイメージ出来なかったけど値を条件付けさえすればそういう式って作れるもんなのかな

交換子について教えてよ

以下はいくつかの代表的な無限集合の濃度が等しいという話

命題:整数全体の集合Zの濃度と偶数全体の集合2Zの濃度は等しい

証明)
f:Z→2Zをf(x)=2xにより定めるとこれは全単射なので|Z|=|2Z|

命題:偶数全体の集合2Zと奇数全体の集合2Z+1の濃度は等しい

証明)
f:2Z→2Z+1をf(x)=x+1により定めるとこれは全単射なので|2Z|=|2Z+1|

命題:自然数全体の集合Nと整数全体の集合Zの濃度は等しい

証明)
f:N→Zをf(x)=x/2(xが偶数の時),-(x-1)/2(xが奇数の時)と定めるとこれは全単射なので|N|=|Z|

>>82
可解群の話かな？

量子力学の交換子なら説明できる

>>81
そういうってどういう？

>>83
最後のやつの証明で作ってる関数が間違ってる
1と0がともに0に飛んでる
奇数のときの括弧の中をプラスにしないと

>>80
なんでもなにも連続体濃度をアレフ2にした方が色々捗るだろ？
数学的直感に従えば、連続体濃度がアレフ2になるのが一番綺麗な形なんだが。むしろなんでアレフ1になるわけ？
連続体仮説を仮定するとクソつまらない数学しか出てこないしな
まぁ、俺はそもそもこんな数学的直感自体クソだと思って中立立場とってるから
ZFC内で話してんなら真偽不明以上の何物でも無いと回答して欲しかったね

命題:自然数全体の集合Nと有理数全体の集合Qの濃度は等しい

証明)格子点(m,n)(m,n∈N)の無限列を(0,0),(1,0),(1,1),(1,0),(-1,1),(-1,0),(-1,-1),(0,-1),(1,-1),(2,-1),(2,0),…
と(0,0)から出発して反時計回りに全ての格子点を覆い尽くすようなものを考える
x番目の格子点(m,n)がn≠0であり、かつm/nの値が等しい格子点がそれ以前には現れていないときf(x)=m/nと定めるとこれはNからQへの全単射
したがって|N|=|Q|

>>86
高校数学に基づいて自然数には0を含めないことにしている
先に書いておくべきだったなごめん

>>87
>連続体濃度がアレフ2になるのが一番綺麗な形なんだが
そんな話基礎論やってて聞いたことねーな

ていうか連続体濃度はℵ1であってℵ2ではないよ
ω2のこと言ってるのかね

>>90
え？？？？？？？？？？？
なに言ってんだこいつ
連続体濃度=アルフ1、こそCHの言ってる内容だろｗｗｗｗ
そりゃCH盲信なら連続体濃度=アルフ1だろうけどさぁｗｗｗｗ きみ数学科？その認識やばくね？
ていうかwoodinとか知らないの？

まず、PFAを採択すれば、連続体濃度=アレフ2になることは証明されてるしな
聞いたことないとかマジ？
もうスレ伸ばさなくていいよ
じゃあね

勉強しにきたら先生が論破されてた

集合論はもう時代遅れで今は圏論の時代なんでしょ

先生が論破されてたは草

数学科以外はあまり関心がなさそうなところでの論破だけどな……

7月10日引け後に発表された決算・業績修正
http://startp.versailles.jp/dton/

>>96
ヒルベルトが挙げた23の難問のトップバッター
超有名問題だから、数学科じゃなくても数学好きな奴なら普通に知ってる話
実際、俺も数学科ではない、ただの数学オタクの物理屋

>>98
「論破」されたと言える内容は「連続体仮説を採用するのが自然」という内容
1は連続体仮説が正しいと言ってそれが崩されたわけではなく、
連続体仮説って自然じゃね？と言ってそんなことはないよと返されただけ
あなたは連続体仮説を採用したときのメリットやデメリットについて興味があるの？

連続体仮説そのものというより公理系の話に興味があるだけ
ZFC+MA+¬CHとか少しでもかじったことあれば
CHが真が自然とか言い出すことはありえない
そもそもゲーデルの不完全性定理により、ZFC内では真偽不明と答えるのが、数学科なら当然だと思うが。

>>99
それは流石に違うそもそも論破されてないしアレフ1の定義を間違えていただけでしょこれがどれくらいの無理解に当たるのかは知らないしこれを論破とかいうならそうだけど
坪井ホモロジーも同じ間違いしてるから数学科だからこれくらいってのは不適切だろうね
十分教えて良いレベルだと思うけどね

ゲーデルとか言ってて怪しいから調べたら誤解みたいだし数学科ならゲーデルなんて理解してなかったらよっぽど使わんだろうね

元ってなんだよ

高校生だけど誰でも良いからもっと教えてくれ

モンゴルだよ

>>101
論破と言い出したのは俺じゃない
ただたしかに論破という言葉を不用意に使ったのは俺のミスなんだよな
それ以外の部分は「違う」の件もアレフ1の定義も含めて、よく分からんとしか言えない……

>>102
集合の要素のこと
たとえば、このスレのレスにあるIDを全部とってきて集合にする
その集合をSとおくと、agHQzrD+0はSの元ということになる

CHが自然とか言い出す時点で、ろくな公理系も知らないのは確定だろ
そもそもCHはZFC内で証明も反証もできない独立命題であることは非常によく知られてるし、それを理解してない時点で無理解とかいうレベルじゃねー
まあそもそもアレフ2の話を見たことない時点でかなり低級だよ
いくら専門が違うっつっても流石にね

あと>>1を擁護してる馬鹿ども
ZFC+MA+¬CHも知らないのか？
知ってて、その上でCHの採用が自然だって言ってるのか？
前者なら勉強してこいアホンダラ
後者なら主張言ってみ議論してやるから

まあ俺も論破したとは思ってない
CHを採用する公理系を主張するなら議論したかっただけ

まあしいて論破したと言うとすれば>>77だな
通説通りCHを信じてる、とかふざけたこと抜かしてる
真逆だよ、真逆
どんな勘違いしたらそんな通説を支持できるんだ
東大数学院なんだろ？ありえねー

ID変えた？