今日はPCから十分に準備してから書いているから、
いつもより詳しく説明できるぞ！
誰かが書き込むまで俺が勝手に自演したり色々してスレを保守するから、
お前らそのつもりでな！
今日はBEAFについて説明すっぞ！
BEAFってより配列表記のほうがより正しい言い方で、
とりあえずバード表記もバウワーズ表記もここが出発点だ！
今回はBEAFの配列表記まで足を突っ込みたいが、
まずはおさらいだ！
無量大数野郎やグーゴル野郎をぶっ飛ばす準備は出来たか？
BEAFでヤンスか、
おいらが難しすぎて挫折した分野でヤンスよ…
どうなっちゃうのか楽しみでヤンス！
掛け算を繰り返したのが累乗だ！
↑とも^とも表記できる。
累乗を繰り返したのがテトレーションだ、
↑↑で表記できる。
10↑↑10が10^10^10^10^10^10^10^10^10^10だ。
右から計算していけばいい。これだけでもちょっと大きな数だ。
ペンテーションがテトレーションを繰り返したものだ。
10↑↑↑10=10↑↑10↑↑10↑↑10↑↑10↑↑10↑↑10↑↑10↑↑10↑↑10
となる。説明するまでも無いな！
ヘキセーションが↑↑↑↑だ。まあ当然の話だな。
コンウェイまでは蟻でも理解できるからガンガン進むぞ！
テトレーションは初めての人は難しそうだと思うかも知れないでヤンスが、
何だかんだで使う分野もあるし、
簡単な豆知識的な側面も強いので、
覚えて損はないでヤンスよ！
実際とっても簡単な理論でヤンス！
まあこうなってくると矢印の数を巨大数にしたくなるよな！
そこで出てくるのがグラハム数だ。
3↑↑↑↑3＝G1とする。グラハルとも呼ぶ。
3↑↑…（G1個）…↑↑3がG2だ。
3↑↑…（G2個）…↑↑3がG3だ。
3↑↑…（G3個）…↑↑3がG4だ
3↑↑…（G63個）…↑↑3がG64でグラハム数だ！
あの有名なグラハム数だ、グラハム数の時点でみな思考停止してしまうが、
俺はそれが悲しくてならない。
この前BEAFの説明してくれって言ったのは俺だけどまた来たぞ
わわっ、もうグラハム数の説明でヤンスか！
ここから先、一体全体、どうなっちゃうんでヤンスかねぇ…
こりゃあ、おやびんの巨大数講座から、目が離せないでヤンスよ！
ここからは蟻では理解できない、爬虫類クラスの頭脳が必要だ。
なんせあの亡きコンウェイがぶち上げたチェーン表記を使うんだからな！
コンウェイさん、ご冥福をお祈りいたします。
コンウェイのルールはたったの3つだ！
ルール1: a→b→c=a↑↑…（ｃ本）…↑↑b (矢印表記を使用)
ルール2: どっかに1が出たらそこから下を全部切り落とすことができる。
3→3→3→1→3→3＝3→3→3だ、ここまではそれ程難しくない。
3→3→3→3のように、どこにも1がない場合はルール3を適用する。
ルール3: a→b→c→d=a→b→(a→b→(c-1)→d)→d-1
因みにこれは右二つの変数に適用されるルールだから、
a→b→ｃ→…→y→z=a→ｂ→ｃ→…(a→b→ｃ→…→(y-1)→z)→(z-1)となる。
さっそく計算に移るぞ！
>>8
配列表記とBEAFの入門まで書いてきました。
取り敢えずコンウェイから入りますが、
BEAFも導入をしっかりやります。 コンウェイさん…惜しい人を亡くしたでヤンス
チェーンはいくつか数を重ねるだけで大きな数が表せるから大好きでヤンス！
まずは3→3→3→3→1→3を計算する。
ルール1が適用され3→3→3→3となる。
次にルール3を適用する。
3→3→3→3
=3→3→(3→3→2→3)→2
=3→3→(3→3→(3→3→1→3)→2)→2
ルール2を適用し、
=3→3→(3→3→(3→3)→2)→2
ここで3→3=3↑3だから、3＾3=27となる
=3→3→(3→3→27→2)→2
=3→3→(3→3→(3→3→26→2)→1)→2
再びルール2を適用し、
3→3→(3→3→26→2)→2だ。
どんどんいくぞ！ついてこい！
わわっ、おやびんの目にも止まらぬ早技、
オイラ目が回ってしまうでヤンスよ！
これだけでグラハム数より大きいなんて、
本当でヤンスか？
=3→3→(3→3→(3→3→25→2))→2
=3→3→(3→3→(3→3→(3→3→24→2)))→2
=3→3→(3→3→(3→3→(3→3→(3→3→23→2)→1)))→2
と()がどんどん増えていき、
=3→3→(3→3→………(3→3→1→2)))))))))))))))))))))))))))→2となる
)は27個だ
それで最下層が27になり、
=3→3→(3→3→………3→3→(3→3→27)))))))))))))))))))))))))→2
と()が一つ減った。
ここでルール1を適用し、(3→3→27)計算し、3↑↑…(27本…)…↑↑3=nとする
=3→3→(3→3→………(3→3→n))))))))))))))))))))))))→2
この27段重ねの3をすべて計算し終えたものをmとする。
この時mはG64、所謂グラハム数より小さい。
起点が27とグラハルより小さく、段重ねも64段ではないからな！
だが勿論、これだけで2重再帰クラスのある程度大きな数になっている！
うわっ、まだ途中なのに、いきなり巨大数がでたでヤンス！
おいらの脳内麻薬も巨大数でマッハでヤンス！
当然だが、この時のこの式は、
=3→3→m→2となる
=3→3→(3→3→(m-1)→2)→1
=3→3→(3→3→(m-1)→2)
これでやっと三つ組チェーンになった。
一番右の1を切り落とした。
=3→3→(3→3→(3→3→(m-2)→2)→2)
=3→3→(3→3→(3→3→(3→3→(m-3)→2)→2)
と巨大数m回分()を展開し、最後に
=3→3→(3→3→(3→3→……(27))))))…)))))となる。
そしたらm回分グラハム数の時と同じ動作を繰り返し、
=3→3→xとなる。
=3↑↑…(x)…↑↑3
これが3→3→3→3→1→3の答えだ！
因みにこれと全く同じ値の3→3→3→3はコンウェイのテトラトリと呼ばれている。
わわっ、グラハム数のような繰り返しを巨大数回やるだなんて、
オイラびっくらこいたでヤンス！
コンウェイさん、本当に惜しい人を亡くしたでヤンス
次に5つ組チェーンを見ていこう
3→3→3→3→3
=3→3→3→(3→3→3→2→3)→2
=3→3→3→(3→3→3→(3→3→3→1→3)→2)→2
この時3→3→3=3↑↑↑3、これはトリトリという巨大数だ。
=3→3→3→(3→3→3→(3↑↑↑3)→2)→2
便宜上トリトリ=tと表す。
=3→3→3→(3→3→3→t→2)→2
この場合3→3→3→tですら3→3→3→3をはるかに上回るサイズなのに、
それにまだ右に数があり、更にそれも()のなかの数字にすぎない。
このようにチェーンは一つ数が増えるだけで数がそれまでとは全く別のオーダーになる！
ここまでが爬虫類では限界だろう。
ここから先は哺乳類でないと厳しいぞ！ついてこい！
チェーンを一本増やすだけでこの数の増え方…
チェーンこそ最大の数でヤンスね！
さて、ぶっちゃけて言うと、ここまではすべて2重再帰のオーダーに過ぎない。
10↑↑10はデカログと呼ぶ。3↑↑↑3はトリトリ、
このように現実的な数の矢印は原子再帰だ。
矢印の数を数え上げ合成を繰り返す、これが２重再帰だ。
10→10→10→10→10→10スタートで、
10→10→10→…(10→10→10→10→10→10)…10→10→10=N1とする
10→10→10→…(N1)…10→10→10=N2とする
N(10→10→10→10→10→10)を「取り敢えずでかい数」と名付ける。Tとする。
この時Tは3重再帰に過ぎない。
だがここから始める配列表記はn重再帰だ、頑張れよ！
配列表記が解ればBEAFの入門まではすんなり入る。
そしてBEAF｛10＆10＆10｝のデカさがわかる、これが今日の目標だ！
むむむ、三重再起までは何となくわかったでヤンスが、
その先があるとは！
オイラ目が離せないでヤンスよ！
さあ、お待ちかねの配列表記だ！BEAFの元ともなっている！
ルール1
{a}=a
{ab}=a^b
ルール2
{a,b,c,d…,1}の最後が1の場合、1を切り落とせる。
ただし{a,b,1,c,d…}のように途中に1がある場合切り落とせない。
ルール3
{a,b,c,d,e}のように1がa,b,cのポジションに一つもない場合、
{a,(a,b-1,c,d,e),c-1,d,e}とする。
二つ目の数字大爆発だな！
ルール4
{a,b,1,1,1,1…(n)…c,d}の場合、
{a,a,a,a,a,…(n+1)…{a,b-1,1,1,1,1…(n)…c,d},c-1,d}となる。
この時点でヤバさに気づけた奴は自慢していいぞ！
ひぇえ、何がなにやらさっぱりでヤンス…
やっぱりオイラにはBEAFは無理なんでヤンスかねぇ…
ルール4をわかりやすく説明すると、
{a,b,1,c,d,e}
={a,a,{a,b,1,c,d,e},c-1,d,e}となる。
ポツンと置かれた1が何故か大爆発したな！
因みに、a,b,c以外のどっかに1がある場合、
{a,b,c,1,d,e}
{a,{a,b-1,c,1,d,e},c-1,1,d,e}
と、１をもスルーするからな！
>>22
あの人は神です、崇めます むむむ、何やら難しい数式が！
それでも本当にこんなルールで、
コンウェイのチェーン表記を超えることが、出来るんでヤンスかねぇ…
計算してみよう、{10,10,10,10,10}を解いていこう
={10,10,10,10,10}
={10,{10,9,10,10,10},9,10,10}となる。
この時の{}の中身は配列表記だからね？
いままでのコンウェイとかと比にならないからね？
爆発させた数字は爆と表現することにする。
膨大なプロセスを経て、
={10,爆,9,10,10,}となる。
={10,{10,爆-1,9,10,10},8,10,10}と、遂に二つ目の数字がまた減らせた。
そしてさっきより膨大なプロセスを踏み、
={10,爆,8,10,10}となって、
={10,爆,7,10,10}と少しづつ、クリアするたびに数が爆発しまくるナニカを経て、
={10,爆,1,10,10}と三つ目を1にする。
ひえっ、3つめの数字を一つ減らしただけで、
数が爆発しちゃったでヤンスよ！
それも今までの数を嘲笑うようなスピードで！
…すると4つめの数字が1減らせる。
={10,10,爆,9,10}
={10,{10,9,爆,9,10},爆-1,10,10}となる。
またこの時壮絶な巨大数と化した3つめをひとつづつ減らすプロセスが始まる…
で、爆発した値を1つづつ1つづつ減らしていき、3つめの値を1まで減らす。
={10,10,爆,1,10}
ここから先は説明しないからおまいらで解読してみてくれ！
勿論爆の字は順を追うごとに途轍もなくでかくなり続けていることを忘れずにな！
={10,爆,1,1,10}
={10,10,10,爆,9}
={10,10,10,爆,8}
={10,10,10,爆,1}
>>25
=の後ろはbじゃなくてb-1であってる？ コンウェイは右から爆発させていくのに対し、
BEAFのような配列表記は二つ目の数字から爆発させるでヤンスね！
でも爆発させた数を一つづつ一つづつ減らし、
終わったと思ったらまた一つ目の数字がコピーされるとは恐るべしでヤンス
>>25
あってます、破滅ルールを間違えるとは…申し訳ないです。 またおやびんミスったでやんすね、
安価ミスでヤンス、>>31の指摘の通りでヤンス ルール2を適用
={10,10,10,爆}
={10,10,爆}
10↑↑…爆…↑↑10
これで4重再帰クラスだ
ひえっ、いとも簡単にコンウェイを…
でもここまできたら、BEAFをちょっと知りたくなるでヤンス！
前置きが長くなったな！
今日は配列表記だけにしようと思っていたが、
2時間かけてこのスレを準備している間に、
BEAFの配列次元演算子を説明したくなったからしておく！
これはただの配列表記でなく明確なBEAFだ！
BEAF｛a&b｝={a,a,a,…(b)…a,a,a}
つまりBEAF｛10&10｝={10,10,10,10,10,10,10,10,10,10}だ！
更に、BEAF｛10&10&10｝は右から計算する。
BEAF｛10&10&10｝=BEAF{10&{10,10,10,10,10,10,10,10,10,10}}となる。
BEAF{10&(8重再帰クラスの巨大数)}となる。
おめでとう！君はもうBEAFを入門ではあるが使えるようになった！
次はレギオン集合とかについてやるから！覚悟しておけ！
多重再起分多重再起するとは…
いやはや、これでまだ導入とは、
BEAF恐るべしでヤンス！
という訳で、今日はBEAFの導入までやりました。
配列次元演算子まではわかりやすいのですが、
その先のテトレーション空間やらレギオン集合になってくると、
説明が難しく、
更にその先の強配列表記等に至っては私もまだよく理解が出来ていないです。
なのでそのうちどっかで勉強して講座を開くので、
それまでしばしの別れです。
>>39
残念、私は巨大数が好きなだけの、たんなる工学部電子情報科だったおっさんです。
数学系の本はあんまり読まないので、テンソル空間とかトポロジーとか非可換幾何学とか言われても、
全然わからないのです。 ちょっとレスが速すぎて追いきれてないけど質問
>>23のa,b,cに1がない場合という条件についてだけどa=1またはb=1の場合にはどうなるの？ b=1の場合にはそもそも困るからb>1じゃないとダメか
あともう一つ質問だけどグラハム数ではよく3を使ってたのにBEAFでは10を使うみたいだけどそれに意味はある？
>>42
一つめの数が１の場合、答えは自動的に1になります。
最後はa^bの形になるので、
1を何乗しても1なので。
また数をコピーするときも全部1になってしまうので、
そもそも式が成立しないのです。 それと、コンウェイの時は4変数5変数だったらある程度まで計算できるので3を使ったのですが、
BEAFのときはそれすら不可能なオーダーになるので、
爆と言う字を使ってごまかしました。
そして、どうせ計算なんてほとんどできないとわかっていたので、
3より10のほうが大きさがわかりやすいかと思って10を使いました。
でも同じ爆の字が移動しているだけのように見えて、
逆に大きさが伝わらなかったかもしれませんね。
BEAFは{}内の{}の数も途轍もなく大きいので、
コンウェイのように内部までメスを入れて分解するということを、
そもそも諦めて解説しました。
なので計算式は短いですが、
数の大きさはまるで違います。
次は多変数アッカーマンとBEAFをやりたいな、
でも導入からやらないと次回が初見って人には辛いかもな
なるほど
あと例えば
{a,b,c}={a{a{……{a{a,1,c}c-1}……}c-1}c-1}
となるとおもうんだけど合ってる？この場合、{a,1,c}ってどうなるの？
{a,b,c}の時は、a↑↑(c)↑↑bになるよ！
これはルールでわかりにくいから別途書いておけばよかったね
そうだったのか
{10,10,10,爆}から10の数がだんだん減る原理は理解したけどそこが不明だった
自分は数学科院生なんだけどこれでやっとレスが追い切れるレベルだったから次はもう少しゆっくりレスしてほしい
詳しく解説すると、
{a,{a,{a,{a,1,c}c-1}c-1}c-1}c-1}
a^1=aなので
抜き出すと{a,a,c-1}ってなるでしょ？
それから後は計算すれば一発
>>52
一度にバーっと書いて、
後で追いついた人がレスしてくれればいいやと考えていたけど、
一気に全部書いちゃうと萎えちゃう人が出てくるか… >>53
あぁ確かに
>>54
まぁそもそも巨大数に興味ある人がどれほどいるかって話なんだけどね…… 興味を持ってくれる人はわりかしいるけど、
今日の巨大数は結構大きな数を扱ったから、
逆にひいちゃった人が多いかもね…
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